Question

【題目】已知，二次函數(shù)的圖像經(jīng)過點(diǎn)

（1）求此函數(shù)的解析式，并寫出其頂點(diǎn)坐標(biāo)；

（2）在線段上是否存在點(diǎn)(不含兩點(diǎn))，使與相似？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由

Answer 1

【答案】（1），頂點(diǎn)為(1，4)；（2）存在，點(diǎn)P的坐標(biāo)為()

【解析】

（1）已知了拋物線圖象上三點(diǎn)的坐標(biāo)，即可用待定系數(shù)法求出拋物線的解析式；用配方法將拋物線解析式化為頂點(diǎn)式，然后求出其頂點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）可分兩種情況：
①△ABP∽△ABC，此時(shí)AB:AB=AP:AC，P、C重合，此種情況不合題意；
②△ABP∽△ACB，得AB:AC=AP:AB，由此可求出AP的長(zhǎng)；易求得直線AC的解析式，可根據(jù)直線AC的解析式設(shè)出P點(diǎn)的坐標(biāo)，再由AP的長(zhǎng)求出P點(diǎn)的坐標(biāo)．

（1）由題意得：，

解得：，

∴此函數(shù)解析式為，
∵，
∴頂點(diǎn)為(1，4)；
（2）假設(shè)存在點(diǎn)P，使△ABP與△ABC相似，

①△ABP∽△ABC，此時(shí)AB:AB=AP:AC，

∴AP=AC，即P、C重合，此種情況不合題意；
②△ABP∽△ACB，得AB:AC=AP:AB，

∵，

∴，，

∴

直線AC的解析式為：，

則，

解得：，

∴直線AC的解析式為：，

設(shè)P，其中，

∴

解得：(舍去)．

∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為() ．