Question

已知，AB為⊙O的直徑，C為⊙O上一點(diǎn)，若直線CD與⊙O相切于點(diǎn)C，AD⊥CD，垂足為D．

（1）如圖①，AB=10，AD=2，求AC的長；

（2）如果把直線CD向下平行移動(dòng)，如圖（2），直線CD交⊙O于C，G兩點(diǎn)，若題目中的其他條件不變，且AG=4，BG=3，求的值．

Answer 1

 

【考點(diǎn)】切線的性質(zhì)；平移的性質(zhì)．

【分析】（1）先由圓周角定理得出∠ACB=90°=∠ADC，再由弦切角定理得出∠ACD=∠B，證出△ACD∽△ABC，得出對應(yīng)邊成比例，得出AC²=AB•AD，即可求出AC；

（2）先根據(jù)勾股定理求出AB，再由圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)得出∠ACD=∠B，證出△ACD∽△ABC，得出比例式即可得出結(jié)果．

【解答】解：（1）∵AB為⊙O的直徑，

∴∠ACB=90°，

∵直線CD與⊙O相切于點(diǎn)C，

∴∠ACD=∠B，

又∵AD⊥CD，

∴∠CDA=90°=∠ACB，

∴△ACD∽△ABC，

∴，

∴AC²=AB•AD=10×2=20，

∴AC=2；

（2）∵AB為⊙O的直徑，

∴∠AGB=90°，

∴AB==5，

∵AD⊥CD，

∴∠CDA=90°=∠AGB，

又∵∠ACD=∠B，

∴△ACD∽△ABC，

∴．

【點(diǎn)評】本題考查了切線的性質(zhì)、弦切角定理、圓周角定理、勾股定理、相似三角形的判定與性質(zhì)；熟練掌握圓的有關(guān)定理，證明三角形相似是解決問題的關(guān)鍵．