Question

8．在等邊△ABC中，E為BC邊上一點，G為BC延長線上一點，過點E作∠AEM=60°，交∠ACG的平分線于點M．
（1）如圖（1），當點E在BC邊的中點位置時，通過測量AE，EM的長度，猜想AE與EM滿足的數(shù)量關(guān)系是相等；
（2）如圖（2），小晏通過觀察、實驗，提出猜想：當點E在BC邊的任意位置時，始終有AE=EM．小晏把這個猜想與同學進行交流，通過討論，形成了證明該猜想的幾種想法：
想法1：在BA上取一點H使AH=CE，連接EH，要證AE=EM，只需證△AHE≌△ECM．
想法2：找點A關(guān)于直線BC的對稱點F，連接AF，CF，EF．（易證∠BCF+∠BCA+ACM=180°，所以M，C，F(xiàn)三點在同一直線上）要證AE=EM，只需證△MEF為等腰三角形．
想法3：將線段BE繞點B順時針旋轉(zhuǎn)60°，得到線段BF，連接CF，EF，要證AE=EM，只需證四邊形MCFE為平行四邊形．
請你參考上面的想法，幫助小晏證明AE=EM．（一種方法即可）

Answer 1

分析 （1）取AB的中點N，連接EN，可證明△ANE≌△ECM，可證得AE=EM；
（2）根據(jù)每一種想法中的方法構(gòu)造三角形全等即可證明．

解答 解：
（1）相等．
證明如下：
如圖1，取AB的中點N，連接EN，

∵△ABC為等邊三角形，E、N為中點，
∴AE⊥BC，且AE平分∠BAC，
∴AN=NE=EC，∠NAE=∠NEA=30°，
∴∠ANE=120°，
∵∠AEM=60°，
∴∠MEC=30°，
∴∠NAE=∠CEM，
∵CM平分∠ACG，
∴∠ACM=60°，
∴∠ECM=∠ANE=120°，
在△ANE和△ECM中
$\left\{\begin{array}{l}{∠NAE=∠MEC}\\{AN=EC}\\{∠ANE=∠ECM}\end{array}\right.$
∴△ANE≌△ECM（ASA），
∴AE=EM；
故答案為：相等；
（2）想法一：如圖2，

∵△ABC是等邊三角形，
∴AB=BC，∠B=60°．
∵AH=CE，∴BH=BE．
∴∠BHE=60°．
∴AC∥HE．
∴∠1=∠2．
在△AOE和△COM中，∠ACM=∠AEM=60°，∠AOE=MOE，
∴∠1=∠3．
∴∠2=∠3．
∵∠BHE=60°，
∴∠AHE=120°．
∵∠ECM=120°．
∴∠AHE=∠ECM．
∵AH=CE，
∴△AHE≌△ECM（AAS）．
∴AE=EM．
想法二：如圖3，

∵在△AOE和△COM中，
∠ACM=∠AEM=60°，
∠AOE=∠COM，
∴∠EAC=∠EMC．
又由對稱可知△ACE≌△FCE，
∴∠EAC=∠EFC，AE=EF．
∴∠EMC=∠EFC．
∴EF=EM．
∴AE=EM．
想法三：如圖4，

∵將線段BE繞點B順時針旋轉(zhuǎn)60°，
∴可證△ABE≌△CBF（SAS）．
∴∠1=∠2  AE=CF．
∵∠AEM=∠CBA=60°，
∴∠1=∠CEM．
∴∠2=∠CEM．
∴EM∥CF．
∵∠CBF=60°，BE=BF，
∴∠BEF=60°，
∴∠MCE=∠CEF=120°．
∴CM∥EF．
∴四邊形MCFE為平行四邊形．
∴CF=EM．
∴AE=EM．

點評 本題為三角形的綜合應(yīng)用，涉及等邊三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、幾何變換、平行四邊形的判定和性質(zhì)等知識點．根據(jù)題目條件構(gòu)造相應(yīng)的全等三角形是解題的關(guān)鍵，注意等邊三角形性質(zhì)的應(yīng)用．本題考查知識點較多，綜合性較強，但難度不大．