Question

【題目】如圖，一次函數(shù)的圖象與，軸分別交于，兩點(diǎn)，點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱.動(dòng)點(diǎn)，分別在線段，上（點(diǎn)與點(diǎn)，不重合），且滿足.

（1）求點(diǎn)，的坐標(biāo)及線段的長度；

（2）當(dāng)點(diǎn)在什么位置時(shí)，，說明理由；

（3）當(dāng)為等腰三角形時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo).

Answer 1

【答案】（1）10；（2）當(dāng)點(diǎn)的坐標(biāo)是時(shí)，；（3）點(diǎn)的坐標(biāo)是或.

【解析】

（1）利用一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征可求出點(diǎn)，的坐標(biāo)，結(jié)合點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱可得出點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而可得出線段的長度；

（2）當(dāng)點(diǎn)的坐標(biāo)是時(shí)，，由點(diǎn)，的坐標(biāo)可得出的長度，由勾股定理可求出的長度，進(jìn)而可得出，通過角的計(jì)算及對(duì)稱的性質(zhì)可得出，，結(jié)合可證出，由此可得出：當(dāng)點(diǎn)的坐標(biāo)是時(shí)，；

（3）分，及三種情況考慮：①當(dāng)時(shí)，由（2）的結(jié)論結(jié)合全等三角形的性質(zhì)可得出當(dāng)點(diǎn)的坐標(biāo)是時(shí)；②當(dāng)時(shí)，利用等腰三角形的性質(zhì)結(jié)合可得出，利用三角形外角的性質(zhì)可得出，進(jìn)而可得出此種情況不存在；③當(dāng)時(shí)，利用等腰三角形的性質(zhì)結(jié)合可得出，設(shè)此時(shí)的坐標(biāo)是，在中利用勾股定理可得出關(guān)于的一元一次方程，解之即可得出結(jié)論.綜上，此題得解.

解：（1）當(dāng)時(shí)，，

點(diǎn)的坐標(biāo)為；

當(dāng)時(shí)，，解得：，

點(diǎn)的坐標(biāo)為；

點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱，

點(diǎn)的坐標(biāo)為，

.

（2）當(dāng)點(diǎn)的坐標(biāo)是時(shí)，，理由如下：

點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，

，

.

，，，

.

和關(guān)于軸對(duì)稱，

.

在和中，

.

當(dāng)點(diǎn)的坐標(biāo)是時(shí)，.

（3）分為三種情況：

①當(dāng)時(shí)，如圖1所示，由（2）知，當(dāng)點(diǎn)的坐標(biāo)是時(shí)，

，

此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)是；

②當(dāng)時(shí)，則，

，

.

而根據(jù)三角形的外角性質(zhì)得：，

此種情況不存在；

③當(dāng)時(shí)，則，

，如圖2所示.

設(shè)此時(shí)的坐標(biāo)是，

在中，由勾股定理得：

，

，

解得：，

此時(shí)的坐標(biāo)是.

綜上所述：當(dāng)為等腰三角形時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)是或.