Question

【題目】如圖，，為中點(diǎn)，點(diǎn)在線段上(不與點(diǎn)，重合)，將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)后得到扇形，，分別切優(yōu)弧于點(diǎn)，，且點(diǎn)，在異側(cè)，連接．

(1)求證：；

(2)當(dāng)時(shí)，求的長(zhǎng)(結(jié)果保留)；

(3)若的外心在扇形的內(nèi)部，求的取值范圍．

Answer 1

【答案】(1)見(jiàn)解析；(2)；(3)4＜OC＜8.

【解析】(1)連接OQ，證明AP，BQ所在兩個(gè)三角形全等；(2)在Rt△BOQ中，由OB，BQ的長(zhǎng)求出∠BOQ的度數(shù)，得到所對(duì)圓心角的度數(shù)，再根據(jù)弧長(zhǎng)公式求解；(3)△APO的外心是OA的中點(diǎn)，

試題分析：

試題解析：(1)證明：連接OQ.

∵AP，BQ分別與相切，∴OP⊥AP，OQ⊥BQ，即∠P=∠Q=90°.

∵OA=OB，OP=OQ，∴Rt△APO≌Rt△BQO.∴AP=BQ.

(2)∵BQ=，OB==8，∠Q=90°，∴sin∠BOQ=，∴∠BOQ=60°.

∵OQ=8×cos60°=4，∴的長(zhǎng)為=.

(3)設(shè)點(diǎn)M為Rt△APO的外心，則M為OA的中點(diǎn)，∴OM=4.

當(dāng)點(diǎn)M在扇形的內(nèi)部時(shí)，OM＜OC，∴4＜OC＜8.