Question

【題目】如圖，一次函數(shù)的圖象與拋物線交軸于點(diǎn)，交軸于點(diǎn)，拋物線交軸的另一個(gè)交點(diǎn)為點(diǎn)（點(diǎn)的左邊）．點(diǎn)為拋物線上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（且點(diǎn)的橫坐標(biāo)滿足，過(guò)點(diǎn)作軸交于點(diǎn)．

（1）求該拋物線的解析式；

（2）若為直角三角形，求點(diǎn)的坐標(biāo)；

（3）在（2）的結(jié)論下，點(diǎn)為拋物線上任意一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)為軸上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則以，，，四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形能否為平行四邊形，若能，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）y=x2﹣4x+3；（2）D點(diǎn)坐標(biāo)為D1（1，0），D2（2，﹣1）；（3）能，，

【解析】

（1）先求出點(diǎn)B、C的坐標(biāo)，然后利用待定系數(shù)法，即可求出拋物線的解析式；

（2）根據(jù)題意，可分為兩種情況進(jìn)行①當(dāng)點(diǎn)D1為直角頂點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)D1與點(diǎn)A重合；②當(dāng)點(diǎn)B為△BD2E2的直角頂點(diǎn)時(shí)；分別求出坐標(biāo)即可；

（3）由題意，利用平行四邊形的判定和性質(zhì)，通過(guò)平移直線BD進(jìn)行討論，即可求出點(diǎn)P的坐標(biāo)．

解：（1）由一次函數(shù)的圖象交x軸于B點(diǎn)，交y軸于C點(diǎn)可得，

∴B（3，0），C（0，3），

把B、C代入拋物線可得，

，

∴

∴拋物線為y=x2﹣4x+3；

（2）分兩種情況：

①當(dāng)點(diǎn)D1為直角頂點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)D1與點(diǎn)A重合；

令y=0，得x2﹣4x+3=0，

解得：x1=1，x2=3；

∵點(diǎn)B在點(diǎn)A的右邊，

∴A（1，0），B（3，0）；

∴D1（1，0）；

②當(dāng)點(diǎn)B為△BD2E2的直角頂點(diǎn)時(shí)；

∵OB=OC，∠BOC=90°，

∴∠OBE2=45°；

當(dāng)∠E2BD2=90°時(shí)，∠OBD2=45°，

∴BO平分∠E2BD2；

又∵D2E2∥y軸，

∴D2E2⊥BO，

∴D2、E2關(guān)于x軸對(duì)稱；

直線BC的函數(shù)關(guān)系式為y=﹣x+3；

設(shè)E2（x，﹣x+3），D2（x，x2﹣4x+3），

則有：（﹣x+3）+（x2﹣4x+3）=0，

即x2﹣5x+6=0；

解得：x1=2，x2=3（舍去）；

∴當(dāng)x=2時(shí)，y=x2﹣4x+3=22﹣4×2+3=﹣1；

∴D2的坐標(biāo)為D2（2，﹣1）．

∴D點(diǎn)坐標(biāo)為D1（1，0），D2（2，﹣1）；

（3）由（2）知，當(dāng)D點(diǎn)的坐標(biāo)為D1（1，0）時(shí)，不能構(gòu)成平行四邊形；

當(dāng)點(diǎn)D的坐標(biāo)為D2（2，﹣1）（即拋物線頂點(diǎn)）時(shí)，

平移直線BD交x軸于點(diǎn)N，交拋物線于P；

∵D（2，﹣1），

∴可設(shè)P（x，1）；

∴x2﹣4x+3=1，

解得：，；

∴符合條件的P點(diǎn)有兩個(gè)，

即，．