Question

【題目】如圖1，在直角梯形ABCD中，AB⊥BC，AD∥BC，點P為DC上一點，且AP＝AB，過點C作CE⊥BP交直線BP于E.

(1) 若，求證：；

(2) 若AB＝BC.

① 如圖2，當點P與E重合時，求的值；

② 如圖3，設∠DAP的平分線AF交直線BP于F，當CE＝1，時，直接寫出線段AF的長.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）①；②3.

【解析】

(1) 過點A作AF⊥BP于F,根據等腰三角形的性質得到BF=BP，易證Rt△ABF∽Rt△BCE，根據相似三角形的性質得到，即可證明BP=CE.

(2) ①延長BP、AD交于點F，過點A作AG⊥BP于G,證明△ABG≌△BCP，根據全等三角形的性質得BG＝CP，設BG＝1，則PG＝PC＝1，BC＝AB＝，在Rt△ABF中，由射影定理知，AB2＝BG·BF＝5，即可求出BF＝5，PF＝5－1－1＝3，即可求出的值；

② 延長BF、AD交于點G，過點A作AH⊥BE于H，證明△ABH≌△BCE，根據全等三角形的性質得BG＝CP，設BH＝BP＝CE＝1，又，得到PG＝，BG＝，根據射影定理得到AB2＝BH·BG ，即可求出AB＝ ，根據勾股定理得到

，根據等腰直角三角形的性質得到.

解：(1) 過點A作AF⊥BP于F

∵AB=AP

∴BF=BP，

∵Rt△ABF∽Rt△BCE

∴

∴BP=CE.

(2) ①延長BP、AD交于點F，過點A作AG⊥BP于G

∵AB＝BC

∴△ABG≌△BCP（AAS）

∴BG＝CP

設BG＝1，則PG＝PC＝1

∴BC＝AB＝

在Rt△ABF中，由射影定理知，AB2＝BG·BF＝5

∴BF＝5，PF＝5－1－1＝3

∴

② 延長BF、AD交于點G，過點A作AH⊥BE于H

∵AB＝BC

∴△ABH≌△BCE（AAS）

設BH＝BP＝CE＝1

∵

∴PG＝，BG＝

∵AB2＝BH·BG

∴AB＝

∴

∵AF平分∠PAD，AH平分∠BAP

∴∠FAH＝∠BAD＝45°

∴△AFH為等腰直角三角形

∴