Question

如圖，在矩形ABCD中，，∠ADC的平分線交邊BC于點E，AH⊥DE于點H，連接CH并延長交邊AB于點F，連接AE交CF于點O，給出下列命題：

①∠AEB=∠AEH    ②DH=    ③      ④

其中正確命題的序號是        （填上所有正確命題的序號）.

Answer 1

①③.

【考點】矩形的性質；等腰（直角）三角形的判定和性質；三角形內角和定理；全等三角形的判定和性質；直角三角形斜邊上的中線的判定；勾股定理；相似三角形的判定和性質；特殊元素法和方程思想的應用.

【分析】①∵在矩形ABCD中，，∴不妨設，則.

∵∠ADC的平分線交邊BC于點E，∴是等腰直角三角形.∴.

∴.∴.

∴.故命題①正確.

②∵是等腰直角三角形，∴.

∵是等腰直角三角形，∴.∴.

不難證明，∴.∴.故命題②錯誤.

③∵，∴.∴。

∵，∴.

∴.∴是斜邊上的中線.∴.故命題③正確.

④如答圖，延長AB至G，使BG=BF，連接CG，

在中，，

∴根據勾股定理得.

設，則.

在中，根據勾股定理得.

易證明，∴.

∴.

∴.

∴.

又∵.

∴.故命題④錯誤.

綜上所述，正確命題的序號是①③.