Question

【題目】河上有一座橋孔為拋物線形的拱橋（如圖 ），水面寬 時，水面離橋孔頂部 ，因降暴雨水面上升 ．

（1）建立適當的坐標系，并求暴雨后水面的寬；（結果保留根號）

（2）一艘裝滿物資的小船，露出水面的部分高為 ，寬 （橫斷面如圖 所示），暴雨后這艘船能從這座拱橋下通過嗎?

Answer 1

【答案】（1）水面寬為 米；（2）這艘船能從這座拱橋下通過．

【解析】試題分析：

（1）建立如下圖所示的平面直角坐標系，由題意設拋物線型拱橋的解析式為：y=ax2，由題意可知此拋物線過點（3，-3），由此即可求出拋物線的解析式，把y=-2代入所得解析式，解此對應的x的值，即可求得此時水面的寬；

（2）由題意在（1）中所得的解析式中，求出當x=2時對應的y的值，比較此時y的值的絕對值和1.5的大小即可得出結論.

試題解析：

（1） 如圖，以拋物線的頂點為原點，以橋面為 軸，建立平面直角坐標系，由題意可知拋物線過點 ，

設拋物線的函數表達式為： ．

把 代入 ，可求 ，

則拋物線對應的函數表達式為 ．

當水面上漲 米后，水面所在的位置為直線 ，

令 得，則，解得： ， ，

∴此時水面寬為為： （米）；

（2）由題意 ：當船在橋拱的正中心航行時，船的邊緣距拋物線對稱軸水平距離為 米，在中，令 得， ，

∵船上貨物最高點距拱頂為： （米）且 ，

∴這艘船能從這座拱橋下通過．