Question

【題目】已知拋物線C：y=（-a2+a）x2+x+1（a≠0）

（1）無論a為何值，拋物線C總是經(jīng)過一個(gè)定點(diǎn)，該定點(diǎn)的坐標(biāo)為_____．

（2）無論a為何值，該拋物線的頂點(diǎn)總在一條固定的直線上運(yùn)動(dòng)，求出該直線的解析式．

（3）當(dāng)0＜y≤2時(shí)，y＞0恒成立，求a的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）（0，1）；（2）；（3）0＜a＜1，或.

【解析】

（1）函數(shù)的常數(shù)項(xiàng)為1，所以過定點(diǎn)（0，1）；

（2）求出頂點(diǎn)坐標(biāo)公式，令，代入即可；

（3））①當(dāng)-a2+a＞0時(shí)，即0＜a＜1，當(dāng)0＜a＜1，0＜x≤2時(shí)，y＞0恒成立，②當(dāng)-a2+a＜0時(shí)，即a＞1或a＜0，當(dāng)0＜x≤2時(shí)，y＞0恒成立則x=2時(shí)，y＞0；

（1）無論a為何值，拋物線C總是經(jīng)過一個(gè)定點(diǎn)，（0，1）；

（2）y=（-a2+a）x2+x+1的頂點(diǎn)為（，），

設(shè)x=，y=，

則，

∴y===，

（3）①當(dāng)-a2+a＞0時(shí)，即0＜a＜1，

∴拋物線開口向上，對(duì)稱軸x=在y軸左側(cè)，

∴當(dāng)0＜x≤2時(shí)，y隨x的增大而增大，

∴當(dāng)x=2時(shí)，y＞0

∴當(dāng)0＜a＜1，0＜x≤2時(shí)，y＞0恒成立，

②當(dāng)-a2+a＜0時(shí)，即a＞1或a＜0，

∴拋物線開口向下

∵拋物線與y軸交于點(diǎn)（0，1），

當(dāng)0＜x≤2時(shí)，y＞0恒成立

∴當(dāng)x=2時(shí)，y＞0，

即4（-a2+a）+3＞0，

解得或，

綜上，0＜a＜1，或；