Question

【題目】如圖，正方形ABCD繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)30°后得到正方形BEFG，EF與AD相交于點(diǎn)H，延長(zhǎng)DA交GF于點(diǎn)K．若正方形ABCD邊長(zhǎng)為 ，則AK= .

Answer 1

【答案】
【解析】解：連接BH，如圖所示：

∵四邊形ABCD和四邊形BEFG是正方形，
∴∠BAH=∠ABC=∠BEH=∠F=90°，
由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得：AB=EB，∠CBE=30°，
∴∠ABE=60°，
在Rt△ABH和Rt△EBH中，
，
∴Rt△ABH≌△Rt△EBH（HL），
∴∠ABH=∠EBH=∠ABE=30°，AH=EH，
∴AH=ABtan∠ABH=×=1，
∴EH=1，
∴FH=﹣1，
在Rt△FKH中，∠FKH=30°，
∴KH=2FH=2（﹣1），
∴AK=KH﹣AH=2（﹣1）﹣1=2﹣3；
故答案為：2﹣3．
連接BH，由正方形的性質(zhì)得出∠BAH=∠ABC=∠BEH=∠F=90°，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得：AB=EB，∠CBE=30°，得出∠ABE=60°，由HL證明Rt△ABH≌Rt△EBH，得出∠ABH=∠EBH=∠ABE=30°，AH=EH，由三角函數(shù)求出AH，得出EH、FH，再求出KH=2FH，即可求出AK．