(1)如圖4­2­25(1),已知:在△ABC中,∠BAC=90°,ABAC,直線m經(jīng)過(guò)點(diǎn)ABD⊥直線m, CE⊥直線m,垂足分別為點(diǎn)D,E.證明:DEBDCE

(2)如圖4­2­25(2),將(1)中的條件改為:在△ABC中,ABAC,點(diǎn)D,A,E三點(diǎn)都在直線m上,并且有∠BDA=∠AEC=∠BACα,其中α為任意銳角或鈍角.請(qǐng)問(wèn)結(jié)論DEBDCE是否成立?若成立,請(qǐng)你給出證明;若不成立,請(qǐng)說(shuō)明理由;

(3) 拓展與應(yīng)用:如圖4­2­25(3),點(diǎn)D,ED,AE三點(diǎn)所在直線m上的兩動(dòng)點(diǎn)(D,A,E三點(diǎn)互不重合),點(diǎn)F為∠BAC平分線上的一點(diǎn),且△ABF和△ACF均為等邊三角形,連接BD,CE,若∠BDA=∠AEC=∠BAC,試判斷△DEF的形狀.

圖4­2­25



證明:(1)∵BD⊥直線mCE⊥直線m,

∴∠BDA=∠CEA=90°.

∵∠BAC=90°,∴∠BAD+∠CAE=90°.

∵∠BAD+∠ABD=90°,∴∠CAE=∠ABD.

ABAC,∴△ADB≌△CEA.

AEBDADCE.∴DEAEADBDCE.

(2)成立.∵∠BDA=∠BACα,

∴∠DBA+∠BAD=∠BAD+∠CAE=180°-α.

∴∠DBA=∠CAE.

∵∠BDA=∠AECα,ABAC

∴△ADB≌△CEA.∴AEBD,ADCE.

DEAEADBDCE.

(3)由(2)知,△ADB≌△CEA,

BDAE,∠DBA=∠EAC.

∵△ABF和△ACF均為等邊三角形,

∴∠ABF=∠CAF=60°.

∴∠DBA+∠ABF=∠EAC+∠CAF.

∴∠DBF=∠EAF.

BFAF,BDAE,∴△DBF≌△EAF.

DFEF,∠BFD=∠AFE.

∴∠DFE=∠DFA+∠AFE=∠DFA+∠BFD=60°.

∴△DEF為等邊三角形.


練習(xí)冊(cè)系列答案
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