Question

【題目】已知拋物線y=x2+1（如圖所示）．

（1）填空：拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)是（　　，　　），對(duì)稱軸是　 　；

（2）如圖1，已知y軸上一點(diǎn)A（0，2），點(diǎn)P在拋物線上，過(guò)點(diǎn)P作PB⊥x軸，垂足為B．若△PAB是等邊三角形，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；

（3）如圖，在第二問(wèn)的基礎(chǔ)上，在拋物線上有一點(diǎn)C（x，y），連接AC、OC、BC、PC，當(dāng)△OAC的面積等于△BCP的面積時(shí)，求C的橫坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）頂點(diǎn)坐標(biāo)是（0，1），對(duì)稱軸是y軸（或x=O）（2）（2，4）（3）

【解析】分析：

（1）由二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)進(jìn)行解答即可；

（2）由△PAB是等邊三角形，PB⊥x軸易得∠ABO=30°，結(jié)合∠AOB=90°，AO=2可得AB=4，OB= ，由此可得點(diǎn)P的坐標(biāo)為；

（3）如下圖2所示，設(shè)點(diǎn)C的坐標(biāo)為（x，y），則S△AOC=AO·x，S△BCP=PB·（），由S△AOC=S△BCP列出方程，解方程即可求得點(diǎn)C的坐標(biāo).

詳解：

（1）∵ 拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（0，k），對(duì)稱軸為y軸，

∴拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)是（0，1），對(duì)稱軸是y軸（或x=0）；

（2）∵△PAB是等邊三角形，PB⊥x軸于點(diǎn)B，

∴∠APB=60°，∠OBP=90°，

∴∠ABO=90°﹣60°=30°．

∴AB=2OA=4．

∴PB=4，

∴P（2，4），

∵在中，當(dāng)時(shí)，，

∴點(diǎn)P（2，4）在拋物線上，

∴符合要求的點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2，4）；

（3）下圖2所示，設(shè)點(diǎn)C的坐標(biāo)為（x，y），則S△AOC=AO·x，S△BCP=PB·（），

∵S△AOC=S△BCP，OA=2，PB=4，

∴ ，

解得： ，

∴C的橫坐標(biāo)是 .