Question

【題目】已知：如圖，二次函數(shù)的圖象交軸于點(diǎn)和點(diǎn)（點(diǎn)在點(diǎn)左則），交軸于點(diǎn)，作直線是直線上方拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)．過(guò)點(diǎn)作 直線平行于直線是直線 上的任意點(diǎn)，是直線上的任意點(diǎn)，連接，始終保持為，以和邊，作矩形．

（1）在點(diǎn)移動(dòng)過(guò)程中，求出當(dāng)的面積最大時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)；在的面積最大 時(shí)，求矩形的面積的最小值．

（2）在的面積最大時(shí)，線段交直線于點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)四個(gè)點(diǎn)組成平行 四邊形時(shí)，求此時(shí)線段與拋物線的交點(diǎn)坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）點(diǎn)坐標(biāo)為，矩形的最小值為；（2）交點(diǎn)坐標(biāo)為（3+，﹣），（3﹣，﹣），（1﹣，），（1+，）．

【解析】

（1）當(dāng)△DEB的面積最大時(shí)，直線DN與拋物線相切，可求出直線DN的解析式和點(diǎn)D的坐標(biāo)，當(dāng)矩形面積最小時(shí)，MG最小，求出MG的最小值即可．

（2）分兩種情況討論，以DB為邊和以DB為對(duì)角線，分別求出此時(shí)ON的解析式，聯(lián)立求出交點(diǎn)坐標(biāo)即可．

解：（1）如圖1所示，過(guò)點(diǎn)D作y軸的平行線交MB于點(diǎn)H，過(guò)點(diǎn)O作OQ垂直MB于點(diǎn)Q，

令y＝0，解得x1＝﹣1，x2＝4，

∴A（﹣1，0），B（4，0），

令x＝0，y＝2，

∴E（0，2），

設(shè)直線BE的解析式為y＝kx+b，則

解得，

∴直線BE的解析式為y＝﹣x+2，

∵DN∥BE，

∴設(shè)直線DN的解析式為y＝﹣x+b1，

S△DEB＝DH（xB﹣xE），

∴當(dāng)△DEB面積最大時(shí)，即是DH最大的時(shí)候，

∴﹣x+b1＝﹣x2+x+2，

△＝b2﹣4ac＝0，即16﹣4（2b1﹣4）＝0，

解得b1＝4，點(diǎn)D（2，3），

S矩＝2S△MOG+S平形四邊形，

∴矩形面積最小時(shí)就是MG最小，

設(shè)QG＝m，MQ＝n，

∴MG＝m+n，

∵m+n≥2，

∵△QOG∽△MQO，

∴OQ2＝mn，

∵△OEQ∽△EOB，

∴OQ＝，

∴mn＝，

∴m+n的最小值為．

∴MG＝，

∴S矩＝2S△MOG+S平形四邊形＝．

（2）分兩種情況討論，

情況一：當(dāng)GN∥DB時(shí)，

直線DB的解析式為：y＝﹣x+6，

則直線NG的解析式為y＝﹣x，

∴﹣x＝﹣x2+x+2，

解得x1＝3+，x2＝3﹣，

∴交點(diǎn)坐標(biāo)為（3+，﹣），（3﹣，﹣），

情況二：DB為對(duì)角線時(shí)，此時(shí)NG必過(guò)DB的中點(diǎn)（3，），

設(shè)直線ON的解析式為y＝k1x，

則k1＝，

∴直線OD的解析式為y＝x，

＝﹣x2+x+2，

解得x1＝1﹣，x2＝1+，

∴交點(diǎn)坐標(biāo)為（1﹣，），（1+，），

綜上所述：交點(diǎn)坐標(biāo)為（3+，﹣），（3﹣，﹣），（1﹣，），（1+，）．