Question

如圖，以△ABC的三邊為邊長在BC的同側作三個等邊三角形，即△ABD、△BCE、△ACF．（1）四邊形ADEF是什么四邊形？試說明理由．
（2）當△ABC滿足條件________時，四邊形ADEF是矩形；當△ABC滿足條件________時，四邊形ADEF是菱形；當△ABC滿足條件________時，四邊形ADEF是正方形；當△ABC滿足條件________時，四邊形ADEF不存在．選擇其中一個試說明理由．

Answer 1

（1）解：是平行四邊形，
理由是：∵△BCE、△ACF、△ABD都是等邊三角形，
∴AB=AD，AC=CF，BC=CE，∠BCE=∠ACF，
∴∠BCE-∠ACE=∠ACF-∠ACE，
即∠BCA=∠FCE，
在△BCA和△ECF中
，
∴△BCA≌△ECF，
∴AB=EF，
∵AB=AD，
∴AD=EF，
同理DE=AF，
∴四邊形ADEF是平行四邊形．

（2）解：當∠BAC=150°時，四邊形ADEF是矩形，
理由是：∵∠DAF=360°-∠DAB-∠BAC-∠FAC=360°-60°-60°-150°=90°，
四邊形ADEF是平行四邊形，
∴平行四邊形ADEF是矩形；

當AB=AC時，四邊形ADEF是菱形，
理由是：由（1）知：AD=AB=EF，AC=DE=AF，
∵AC=AB，
∴AD=AF，
∵四邊形ADEF是平行四邊形，
∴平行四邊形ADEF是菱形；
當AB=AC，∠BAC=150°時，四邊形ADEF是正方形，
理由是：∵四邊形ADEF是平行四邊形，
已證：AD=AF，∠DAF=90°，
∴平行四邊形ADEF是正方形，
當∠BAC是60°時，四邊形ADEF不存在，
理由是：此時D、A、F三點共線，
故答案為：∠BAC=150°，AB=AC，AB=AC，∠BAC=150°，∠BAC=60°．
分析：（1）根據(jù)等邊三角形的性質推出∠BCE=∠FCA=60°，求出∠BCA=∠FCE，證△BCA≌△ECF，推出AD=EF=AB，同理得出DE=AF，即可得出答案；
（2）根據(jù)矩形、菱形、正方形的判定證出即可．
點評：本題考查了對平行四邊形、矩形、菱形、正方形的判定的理解和運用，同時也運用了等邊三角形性質和全等三角形的性質和判定，題目較好，有一定的難度．