Question

拋物線與y軸交于點(diǎn)A，頂點(diǎn)為B，對(duì)稱軸BC與x軸交于點(diǎn)C．點(diǎn)P在拋物線上，直線PQ//BC交x軸于點(diǎn)Q，連接BQ．

（1）若含45°角的直角三角板如圖所示放置，其中一個(gè)頂點(diǎn)與點(diǎn)C重合，直角頂點(diǎn)D在BQ上，另一個(gè)頂點(diǎn)E在PQ上，求直線BQ的函數(shù)解析式；

（2）若含30°角的直角三角板的一個(gè)頂點(diǎn)與點(diǎn)C重合，直角頂點(diǎn)D在直線BQ上（點(diǎn)D不與點(diǎn)Q重合），另一個(gè)頂點(diǎn)E在PQ上，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．

 

Answer 1

解：（1）由拋物線解析式可得B點(diǎn)坐標(biāo)（1，3）.

要求直線BQ的函數(shù)解析式，只需求得點(diǎn)Q坐標(biāo)即可，即求CQ長(zhǎng)度.

過(guò)點(diǎn)D作DG⊥x軸于點(diǎn)G，過(guò)點(diǎn)D作DF⊥QP于點(diǎn)F.

則可證△DCG≌△DEF.則DG=DF，∴矩形DGQF為正方形.

則∠DQG=45°，則△BCQ為等腰直角三角形.∴CQ=BC=3，此時(shí)，Q點(diǎn)坐標(biāo)為（4，0）

可得BQ解析式為y=－x+4.

（2）要求P點(diǎn)坐標(biāo)，只需求得點(diǎn)Q坐標(biāo)，然后根據(jù)橫坐標(biāo)相同來(lái)求點(diǎn)P坐標(biāo)即可.

而題目當(dāng)中沒(méi)有說(shuō)明∠DCE=30°還是∠DCE=60°，所以分兩種情況來(lái)討論.

① 當(dāng)∠DCE=30°時(shí)，

a）過(guò)點(diǎn)D作DH⊥x軸于點(diǎn)H，過(guò)點(diǎn)D作DK⊥QP于點(diǎn)K.

則可證△DCH∽△DEK.則，

在矩形DHQK中，DK=HQ，則.

在Rt△DHQ中，∠DQC=60°.則在Rt△BCQ中，∴CQ=，此時(shí)，Q點(diǎn)坐標(biāo)為（1+,0）

則P點(diǎn)橫坐標(biāo)為1+.代入可得縱坐標(biāo).∴P（1+,）.

b）又P、Q為動(dòng)點(diǎn)，∴可能PQ在對(duì)稱軸左側(cè)，與上一種情形關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱.

由對(duì)稱性可得此時(shí)點(diǎn)P坐標(biāo)為（1－,）

② 當(dāng)∠DCE=60°時(shí)，

a) 過(guò)點(diǎn)D作DM⊥x軸于點(diǎn)M，過(guò)點(diǎn)D作DN⊥QP于點(diǎn)N.

則可證△DCM∽△DEN.則，

在矩形DMQN中，DN=MQ，則.

在Rt△DMQ中，∠DQM=30°.則在Rt△BCQ中，

∴CQ=BC=，此時(shí)，Q點(diǎn)坐標(biāo)為（1+，0）

則P點(diǎn)橫坐標(biāo)為1+.代入可得縱坐標(biāo).∴P（1+,）.

b）又P、Q為動(dòng)點(diǎn)，∴可能PQ在對(duì)稱軸左側(cè)，與上一種情形關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱.

由對(duì)稱性可得此時(shí)點(diǎn)P坐標(biāo)為（1－,）

綜上所述，P點(diǎn)坐標(biāo)為（1+,），（1－,），（1+,）或（1－,）.