如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,矩形OCDE的三個(gè)頂點(diǎn)分別是C(3,0),D(3,4),E(0,4).點(diǎn)A在DE上,以A為頂點(diǎn)的拋物線過點(diǎn)C,且對(duì)稱軸x=1交x軸于點(diǎn)B.連接EC,AC.點(diǎn)P,Q為動(dòng)點(diǎn),設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒.
(1)填空:點(diǎn)A坐標(biāo)為 ;拋物線的解析式為 .
(2)在圖1中,若點(diǎn)P在線段OC上從點(diǎn)O向點(diǎn)C以1個(gè)單位/秒的速度運(yùn)動(dòng),同時(shí),點(diǎn)Q在線段CE上從點(diǎn)C向點(diǎn)E以2個(gè)單位/秒的速度運(yùn)動(dòng),當(dāng)一個(gè)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí),另一個(gè)點(diǎn)隨之停止運(yùn)動(dòng).當(dāng)t為何值時(shí),△PCQ為直角三角形?
(3)在圖2中,若點(diǎn)P在對(duì)稱軸上從點(diǎn)A開始向點(diǎn)B以1個(gè)單位/秒的速度運(yùn)動(dòng),過點(diǎn)P做PF⊥AB,交AC于點(diǎn)F,過點(diǎn)F作FG⊥AD于點(diǎn)G,交拋物線于點(diǎn)Q,連接AQ,CQ.當(dāng)t為何值時(shí),△ACQ的面積最大?最大值是多少?
解:(1)∵拋物線的對(duì)稱軸為x=1,矩形OCDE的三個(gè)頂點(diǎn)分別是C(3,0),D(3,4),E(0,4),點(diǎn)A在DE上,
∴點(diǎn)A坐標(biāo)為(1,4),
設(shè)拋物線的解析式為y=a(x﹣1)2+4,
把C(3,0)代入拋物線的解析式,可得a(3﹣1)2+4=0,
解得a=﹣1.
故拋物線的解析式為y=﹣(x﹣1)2+4,即y=﹣x2+2x+3;
(2)依題意有:OC=3,OE=4,
∴CE===5,
當(dāng)∠QPC=90°時(shí),
∵cos∠QPC==,
∴=,
解得t=;
當(dāng)∠PQC=90°時(shí),
∵cos∠QCP==,
∴=,
解得t=.
∴當(dāng)t=或t=時(shí),△PCQ為直角三角形;
(3)∵A(1,4),C(3,0),
設(shè)直線AC的解析式為y=kx+b,則
,
解得.
故直線AC的解析式為y=﹣2x+6.
∵P(1,4﹣t),將y=4﹣t代入y=﹣2x+6中,得x=1+,
∴Q點(diǎn)的橫坐標(biāo)為1+,
將x=1+代入y=﹣(x﹣1)2+4中,得y=4﹣.
∴Q點(diǎn)的縱坐標(biāo)為4﹣,
∴QF=(4﹣)﹣(4﹣t)=t﹣,
∴S△ACQ=S△AFQ+S△CPQ
=FQ•AG+FQ•DG
=FQ(AG+DG)
=FQ•AD
=×2(t﹣)
=﹣(t﹣2)2+1,
∴當(dāng)t=2時(shí),△ACQ的面積最大,最大值是1.
故答案為:(1,4),y=﹣(x﹣1)2+4.
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某籃球隊(duì)12名隊(duì)員的年齡如下表所示:
年齡(歲) | 18 | 19 | 20 | 21 |
人數(shù) | 5 | 4 | 1 | 2 |
則這12名隊(duì)員年齡的眾數(shù)和平均數(shù)分別是
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(1)(5分)求AD的長(zhǎng). (2)(4分)求樹長(zhǎng)AB.
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如圖,在△ABC中,點(diǎn)D,E分別在邊AC,AB上,BD與CE交于點(diǎn)O,給出下列三個(gè)條件:①∠EBO=∠DCO;②BE=CD;③OB=OC.
(1)上述三個(gè)條件中,由哪兩個(gè)條件可以判定△ABC是等腰三角形?(用序號(hào)寫出所有成立的情形)
(2)請(qǐng)選擇(1)中的一種情形,寫出證明過程.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
⊙O1和⊙O2的直徑分別是6cm和8cm,若圓心距O1O2=2cm,則兩圓的位置關(guān)系是( )
| A. | 外離 | B. | 外切 | C. | 相交 | D. | 內(nèi)切 |
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
如圖,△ABC中,AB=4,AC=3,AD、AE分別是其角平分線和中線,過點(diǎn)C作CG⊥AD于F,交AB于G,連接EF,則線段EF的長(zhǎng)為( )
| A. |
| B. | 1 | C. |
| D. | 7 |
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