Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線AB分別交x、y軸于點(diǎn)A、B，直線BC分別交x、y軸于點(diǎn)C、B，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（2，0），∠ABO=30°，且AB⊥BC．

（1）求直線BC和AB的解析式；

（2）將點(diǎn)B沿某條直線折疊到點(diǎn)O，折痕分別交BC、BA于點(diǎn)E、D，在x軸上是否存在點(diǎn)F，使得點(diǎn)D、E、F為頂點(diǎn)的三角形是以DE為斜邊的直角三角形？若存在，請(qǐng)求出F點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由；

Answer 1

【答案】（1）y=；（2）（﹣2，0）或（0，0）

【解析】

（1）解直角三角形求出B、C兩點(diǎn)坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法即可解決問題；
（2）如圖1中，根據(jù)對(duì)稱性可知，當(dāng)點(diǎn)F與O重合時(shí)，∠EF′D=∠EBD=90°，此時(shí)F′（0，0）；設(shè)DE交OB于K，作FH⊥DE于H．當(dāng)△EFD≌△DF′E時(shí)，∠EFD=∠DF′E=90°，想辦法求出OF的長(zhǎng)即可解決問題；

解：（1）在Rt△AOB中，∵OA=2，∠ABO=30°，

∴OB=2，

在Rt△OBC中，∵∠BCO=30°，OB=2，

∴OC=6，

∴B（0，2），C（6，0），

設(shè)直線AB的解析式為y=kx+b，則有，

解得，

∴直線AB的解析式為y=﹣x+2，

設(shè)直線BC的解析式為y=k′x+b′則有，

解得，

∴直線BC的解析式為y=x+2．

（2）如圖1中，根據(jù)對(duì)稱性可知，當(dāng)點(diǎn)F與O重合時(shí)，∠EF′D=∠EBD=90°，此時(shí)F′（0，0），

設(shè)DE交OB于K，作FH⊥DE于H．當(dāng)△EFD≌△DF′E時(shí)，∠EFD=∠DF′E=90°，

易證DK=EH=1，DE=AC=4，

∴KH=OF=4﹣2=2，

∴F（﹣2，0），

綜上所述，滿足條件的點(diǎn)F坐標(biāo)為（﹣2，0）或（0，0）．