Question

【題目】如圖，拋物線y=﹣x2+bx+c與x軸交于A，B兩點(diǎn)（A在B的左側(cè)），其中點(diǎn)B（3，0），與y軸交于點(diǎn)C（0，3）．

（1）求拋物線的解析式；

（2）將拋物線向下平移h個(gè)單位長度，使平移后所得拋物線的頂點(diǎn)落在△OBC內(nèi)（包括△OBC的邊界），求h的取值范圍；

（3）設(shè)點(diǎn)P是拋物線上且在x軸上方的任一點(diǎn)，點(diǎn)Q在直線l：x=﹣3上，△PBQ能否成為以點(diǎn)P為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形？若能，求出符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不能，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）y=﹣x2+2x+3（2）2≤h≤4（3）（1，4）或（0，3）

【解析】

（1）拋物線的對稱軸x=1、B（3，0）、A在B的左側(cè)，根據(jù)二次函數(shù)圖象的性質(zhì)可知A（-1，0）；

根據(jù)拋物線y=ax2+bx+c過點(diǎn)C（0，3），可知c的值.結(jié)合A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求出a、b的值，可得拋物線L的表達(dá)式；

（2）由C、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法可得CB的直線方程.對拋物線配方，還可進(jìn)一步確定拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)；通過分析h為何值時(shí)拋物線頂點(diǎn)落在BC上、落在OB上，就能得到拋物線的頂點(diǎn)落在△OBC內(nèi)（包括△OBC的邊界）時(shí)h的取值范圍.

（3）設(shè)P（m，﹣m2+2m+3），過P作MN∥x軸，交直線x=﹣3于M，過B作BN⊥MN，

通過證明△BNP≌△PMQ求解即可.

（1）把點(diǎn)B（3，0），點(diǎn)C（0，3）代入拋物線y=﹣x2+bx+c中得：，

解得：，

∴拋物線的解析式為：y=﹣x2+2x+3；

（2）y=﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4，即拋物線的對稱軸是：x=1，

設(shè)原拋物線的頂點(diǎn)為D，

∵點(diǎn)B（3，0），點(diǎn)C（0，3）．

易得BC的解析式為：y=﹣x+3，

當(dāng)x=1時(shí)，y=2，

如圖1，當(dāng)拋物線的頂點(diǎn)D（1，2），此時(shí)點(diǎn)D在線段BC上，拋物線的解析式為：y=﹣（x﹣1）2+2=﹣x2+2x+1，

h=3﹣1=2，

當(dāng)拋物線的頂點(diǎn)D（1，0），此時(shí)點(diǎn)D在x軸上，拋物線的解析式為：y=﹣（x﹣1）2+0=﹣x2+2x﹣1，

h=3+1=4，

∴h的取值范圍是2≤h≤4；

（3）設(shè)P（m，﹣m2+2m+3），

如圖2，△PQB是等腰直角三角形，且PQ=PB，

過P作MN∥x軸，交直線x=﹣3于M，過B作BN⊥MN，

易得△BNP≌△PMQ，

∴BN=PM，

即﹣m2+2m+3=m+3，

解得：m1=0（圖3）或m2=1，

∴P（1，4）或（0，3）．