Question

【題目】定義：點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)的對稱點(diǎn)為，以為邊作等邊，則稱點(diǎn)為的“等邊對稱點(diǎn)”；

（1）若，求點(diǎn)的“等邊對稱點(diǎn)”的坐標(biāo)；

（2）若點(diǎn)是雙曲線上動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)的“等邊對稱點(diǎn)”點(diǎn)在第四象限時(shí)，

①如圖（1），請問點(diǎn)是否也會(huì)在某一函數(shù)圖象上運(yùn)動(dòng)？如果是，請求出此函數(shù)的解析式；如果不是，請說明理由；

②如圖（2），已知點(diǎn)，，點(diǎn)是線段上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)在軸上，若以、、、這四個(gè)點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形時(shí)，求點(diǎn)的縱坐標(biāo)的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）或；（2）①；②或

【解析】

（1）根據(jù)P點(diǎn)坐標(biāo)得出P'的坐標(biāo)，可求PP'=4；設(shè)C（m，n），有PC=P'C=24，通過解方程即可得出結(jié)論；

（2）①設(shè)P（c，），得出P'的坐標(biāo)，利用連點(diǎn)間的距離公式可求的長，設(shè)C（s，t），有，然后通過解方程可得，再根據(jù)消元c即可得xy=-6；

②分AG為平行四邊形的邊和AG為平行四邊形的對角線兩種情況進(jìn)行分類討論．

解：（1）∵P（1，），
∴P'（-1，-），
∴PP'=4，
設(shè)C（m，n），
∴等邊△PP′C，
∴PC=P'C=4，

解得n=或-，
∴m=-3或m=3．
如圖1，觀察點(diǎn)C位于第四象限，則C（，-3）．即點(diǎn)P的“等邊對稱點(diǎn)”的坐標(biāo)是（，-3）．

（2）①設(shè)，∴，

∴，

設(shè)，

，

∴，

∴，

∴，

∴，

∴或，

∴點(diǎn)在第四象限，，

∴，

令，

∴，即；

②已知，，則直線為，設(shè)點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)，，即，，，構(gòu)成平行四邊形，點(diǎn)在線段上，；

當(dāng)為對角線時(shí)，平行四邊形對角坐標(biāo)之和相等；

，，，即；

當(dāng)為邊時(shí)，平行四邊形，

，，，即；

當(dāng)為邊時(shí)，平行四邊形，

，，，而點(diǎn)在第三象限，，即此時(shí)點(diǎn)不存在；

綜上，或.