Question

6．某商家計劃從廠家采購空調(diào)和冰箱兩種產(chǎn)品共20臺，空調(diào)和冰箱的采購單價與銷售單價如表所示：

	采購單價	銷售單價
空調(diào)	-20x+1500	1760
冰箱	-10x+1300	1700

（1）若采購空調(diào)12臺，且所采購的空調(diào)和冰箱全部售完，求商家的利潤；
（2）廠家有規(guī)定，采購空調(diào)的數(shù)量不少于10臺，且空調(diào)采購單價不低于1200元，問商家采購空調(diào)多少臺時總利潤最大？并求最大利潤．

Answer 1

分析 （1）當采購空調(diào)12臺時，冰箱采購8臺，根據(jù)“總利潤=單臺冰箱利潤×冰箱采購數(shù)量+單臺空調(diào)利潤×空調(diào)采購數(shù)量”列式計算，即可得出結(jié)論；
（2）設(shè)空調(diào)的采購數(shù)量為x臺，則冰箱的采購數(shù)量為（20-x）臺，設(shè)總利潤為W（元），根據(jù)“采購空調(diào)的數(shù)量不少于10臺，且空調(diào)采購單價不低于1200元”即可得出關(guān)于x的一元一次方程組，解方程組即可得出x的取值范圍，再結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)即可解決最值問題．

解答 解：（1）采購空調(diào)12臺，則采購冰箱20-12=8臺．
所售空調(diào)利潤=[1760-（-20×12+1500）]×12=6000（元），
所售冰箱利潤=[1700-（-10×8+1300）]×8=3840（元），
∴總利潤=6000+3840=9840（元）．
（2）設(shè)空調(diào)的采購數(shù)量為x臺，則冰箱的采購數(shù)量為（20-x）臺，設(shè)總利潤為W（元），
根據(jù)題意得：$\left\{\begin{array}{l}{x≥10}\\{-20x+1500≥1200}\end{array}\right.$，解得：10≤x≤15．
W=1760x-（-20x+1500）x+1700（20-x）-[-10（20-x）+1300]（20-x）=30x²-540x+12000=30（x-9）²+9570，
∵30＞0，
∴當x＞9時，W隨著x的增大而增大，
∵10≤x≤15，
∴當x=15時，W取最大值，最大值=30×（15-9）²+9570=10650（元）．
答：商家采購空調(diào)15臺時，獲得的總利潤最大，最大利潤為10650元．

點評 本題考查了二次函數(shù)的應(yīng)用以及二次函數(shù)的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是：（1）結(jié)合數(shù)量關(guān)系列式計算；（2）根據(jù)數(shù)量關(guān)系找出W關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式．本題屬于中檔題，難度不大，解決該題型題目時，根據(jù)數(shù)量關(guān)系列出算式（或函數(shù)關(guān)系式）是關(guān)鍵．