Question

如圖，拋物線y=﹣x²+bx+c與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點C，點O為坐標(biāo)原點，點D為拋物線的頂點，點E在拋物線上，點F在x軸上，四邊形OCEF為矩形，且OF=2，EF=3，

（1）求拋物線所對應(yīng)的函數(shù)解析式；

（2）求△ABD的面積；

（3）將△AOC繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)90°，點A對應(yīng)點為點G，問點G是否在該拋物線上？請說明理由．

　

Answer 1

【考點】二次函數(shù)綜合題．

【專題】代數(shù)幾何綜合題．

【分析】（1）在矩形OCEF中，已知OF、EF的長，先表示出C、E的坐標(biāo)，然后利用待定系數(shù)法確定該函數(shù)的解析式．

（2）根據(jù)（1）的函數(shù)解析式求出A、B、D三點的坐標(biāo)，以AB為底、D點縱坐標(biāo)的絕對值為高，可求出△ABD的面積．

（3）首先根據(jù)旋轉(zhuǎn)條件求出G點的坐標(biāo)，然后將點G的坐標(biāo)代入拋物線的解析式中直接進行判定即可．

【解答】解：（1）∵四邊形OCEF為矩形，OF=2，EF=3，

∴點C的坐標(biāo)為（0，3），點E的坐標(biāo)為（2，3）．

把x=0，y=3；x=2，y=3分別代入y=﹣x²+bx+c中，

得，

解得，

∴拋物線所對應(yīng)的函數(shù)解析式為y=﹣x²+2x+3；

 

（2）∵y=﹣x²+2x+3=﹣（x﹣1）²+4，

∴拋物線的頂點坐標(biāo)為D（1，4），

∴△ABD中AB邊的高為4，

令y=0，得﹣x²+2x+3=0，

解得x₁=﹣1，x₂=3，

所以AB=3﹣（﹣1）=4，

∴△ABD的面積=×4×4=8；

 

（3）△AOC繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)90°，CO落在CE所在的直線上，由（2）可知OA=1，

∴點A對應(yīng)點G的坐標(biāo)為（3，2），

當(dāng)x=3時，y=﹣3²+2×3+3=0≠2，所以點G不在該拋物線上．

【點評】這道函數(shù)題綜合了圖形的旋轉(zhuǎn)、面積的求法等知識，考查的知識點不多，難度適中．