Question

【題目】如圖1，點(diǎn)O在線段AB上，AO＝2，OB＝1，OC為射線，且∠BOC＝60，動(dòng)點(diǎn)P以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度從點(diǎn)O出發(fā)，沿射線OC做勻速運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．

（1）當(dāng)t＝ 時(shí)，則OP＝ ，S△ABP＝ ；

（2）當(dāng)△ABP是直角三角形時(shí)，求t的值；

（3）如圖2，當(dāng)AP＝AB時(shí)，過(guò)點(diǎn)A作AQ∥BP，并使得∠QOP＝∠B，求證：AQ·BP＝3．

Answer 1

【答案】（1）1， ；（2）1或；（3）證明見(jiàn)解析.

【解析】試題分析：（1）如答圖1所示，作輔助線，利用三角函數(shù)或勾股定理求解；

（2）當(dāng)△ABP是直角三角形時(shí)，有三種情形，需要分類討論；

（3）如答圖4所示，作輔助線，構(gòu)造一對(duì)相似三角形△OAQ∽△PBO，利用相似關(guān)系證明結(jié)論．

試題解析：（1）1，

（2）①∵∠A＜∠BOC＝60，∴∠A不可能是直角

②當(dāng)∠ABP＝90時(shí)

∵∠BOC＝60，∴∠OPB＝30

∴OP＝2OB，即2t＝2

∴t＝1

③當(dāng)∠APB＝90時(shí)

作PD⊥AB，垂足為D，則∠ADP＝∠PDB＝90

∵OP＝2t，∴OD＝t，PD＝t，AD＝2＋t，BD＝1－t（△BOP是銳角三角形）

∴AP 2＝( 2＋t )2＋3t 2，BP 2＝( 1－t )2＋3t 2

∵AP 2＋BP 2＝AB 2，∴( 2＋t )2＋3t 2＋( 1－t )2＋3t 2＝9

即4t 2＋t－2＝0，解得t1

解得t1＝，t2＝（舍去）

綜上，當(dāng)△ABP是直角三角形時(shí)，t＝1或

（3）

連接PQ，設(shè)AP與OQ相交于點(diǎn)E

∵AQ∥BP，∴∠QAP＝∠APB

∵AP＝AB，∴∠APB＝∠B

∴∠QAP＝∠B

又∵∠QOP＝∠B，∴∠QAP＝∠QOP

∵∠QEA＝∠PEO，∴△QEA∽△PEO

∴

又∵∠PEQ＝∠OEA，∴△PEQ∽△OEA

∴∠APQ＝∠AOQ

∵∠AOC＝∠AOQ＋∠QOP＝∠B＋∠BPO

∴∠AOQ＝∠BPO，

∴∠APQ＝∠BPO

∴△APQ∽△BPO，

∴

∴AQ·BP＝AP·BO＝3×1＝3