Question

已知某二次函數(shù)的圖象與軸分別相交于點和點，

與軸相交于點，頂點為點。

⑴求該二次函數(shù)的解析式（系數(shù)用含的代數(shù)式表示）；

⑵如圖①，當(dāng)時，點為第三象限內(nèi)拋物線上的一個動點，設(shè)的面積為，試求出與點的橫坐標(biāo)之間的函數(shù)關(guān)系式及的最大值；

⑶如圖②，當(dāng)取何值時，以、、三點為頂點的三角形與相似？

		圖②
	圖①

Answer 1

解：⑴∵該二次函數(shù)的圖象與軸分別相交于點和點，

∴設(shè)該二次函數(shù)的解析式為

∵該二次函數(shù)的圖象與軸相交于點，

∴，故

∴該二次函數(shù)的解析式為

⑵當(dāng)時，點的坐標(biāo)為，該二次函數(shù)的解析式為

∵點的坐標(biāo)為，點的坐標(biāo)為

∴直線的解析式為，即

過點作軸于點，交于點

∵點為第三象限內(nèi)拋物線上的一個動點且點的橫坐標(biāo)為

∴點的坐標(biāo)為，點的坐標(biāo)為，點的坐標(biāo)為

∴

∴當(dāng)時，有最大值；

另解：

∵，∴，∴，∴，

∴（其余略）

再解：

⑶∵，∴點的坐標(biāo)為

∴

∵是直角三角形，∴欲使以、、三點為頂點的三角形與相似，必有

①若在中，，則，即

化簡整理得：，∵，∴（舍去負(fù)值）

此時，，，∴

∵且，∴與相似，符合題意；

②若在中，，則，即

化簡整理得：，∵，∴（舍去負(fù)值）

此時，，，∴

雖然，但是，∴與不相似，應(yīng)舍去；

∴綜上所述，只有當(dāng)時，以、、三點為頂點的三角形與相似。