Question

【題目】如圖，過(guò)正方形ABCD頂點(diǎn)B，C的⊙O與AD相切于點(diǎn)P，與AB，CD分別相交于點(diǎn)E，F，連接EF．

（1）求證：PF平分∠BFD；

（2）若tan∠FBC= ，DF=，求EF的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）EF=.

【解析】試題分析：（1）連接OP、BF、PF．根據(jù)切線的性質(zhì)得到OP⊥AD，由四邊形ABCD的正方形，得到CD⊥AD，推出OP∥CD，根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠PFD=∠OPF，由等腰三角形的性質(zhì)得到∠OPF=∠OFP，根據(jù)角平分線的定義即可得到結(jié)論；（2）由∠C=90°，得到BF是⊙O的直徑，根據(jù)圓周角定理得到∠BEF=90°，推出四邊形BCFE是矩形，根據(jù)矩形的性質(zhì)得到EF=BC，設(shè)FC=3x，則BC=4x，根據(jù)BC=DC列出方程，解方程即可．

試題解析：

（1）證明：連接OP、BF、PF．

∵⊙O與AD相切于點(diǎn)P，

∴PO⊥AD，

∵四邊形ABCD是正方形，

∴CD⊥AD，

∴OP∥CD，

∴∠PFD=∠OPF，

∵OP=OF，

∴∠OPF=∠OFP，

∴∠OFP=∠PFD，

∴PF平分∠BFD．

（2）∵∠C=90°，

∴BF是⊙O的直徑，

∴∠BEF=90°，

∴四邊形BCFE是矩形，

∴EF=BC，

∵tan∠FBC=，設(shè)FC=3x，則BC=4x，

∵BC=DC，

∴4x=3x+，

∴x=，

∴EF=BC=4．