Question

【題目】如圖，AB為⊙O的直徑，AC是⊙O的一條弦，D為弧BC的中點，作DE⊥AC，垂足為AC的延長線上的點E，連接DA，DB．

（1）求證：DE為⊙O的切線；

（2）試探究線段AB，BD，CE之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；

（3）延長ED交AB的延長線于F，若AD=DF，DE=，求⊙O的半徑；

Answer 1

【答案】(1)見解析;(2) BD2=CEAB ;(3)2.

【解析】分析：(1)、連接OD，根據(jù)弧的中點以及OA=OD得出OD和AE平行，從而得出切線；(2)、根據(jù)AB為⊙O的直徑，DE⊥AE得出∠E=∠ADB，根據(jù)四點共圓得出∠ECD=∠4，從而得出△ECD和△DBA相似，從而得出答案；(3)、根據(jù)AD=DF得出∠1=∠F=∠3，根據(jù)△ADF的內(nèi)角和得出∠1=30°，∠4=60°=∠ECD，根據(jù)Rt△ECD的三角函數(shù)得出CE、BD的長度，然后根據(jù)(2)的結(jié)論得出答案．

詳解：（1）證明：連接OD，∵D為弧BC的中點，∴∠1=∠2∵OA=OD，∴∠1=∠3，

∴∠3=∠2，∴OD∥AE， ∵DE⊥AE∴OD⊥DE，∴DE是⊙O的切線；

（2）解：數(shù)量關(guān)系是BD2=CEAB， 連接CD，

∵AB為⊙O的直徑，∴∠ADB=90°，∵DE⊥AE∴∠E=90°，∴∠E=∠ADB，

∵A，B，D，C四點共圓，∴∠ECD=∠4，∴△ECD∽△DBA，∴ ，

∵D為弧BC的中點，∴CD=BD，∴∴BD2=CEAB；

（3）解：∵OD⊥DE， ∴∠ODF=90°，∵AD=DF，∴∠1=∠F=∠3 ，

在△ADF中，∠1+∠F+∠3+∠ODF=180°，∴∠1=30°，∴∠4=60°=∠ECD，

在Rt△ECD中tan∠ECD=，sin∠ECD=，∴CE=，CD=，∴CE=1，BD=CD=，

由BD2=CEAB得(2)2=1×AB， ∴AB=4， ∴⊙O的半徑是2．