Question

【題目】如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AD平分∠BAC，過A，C，D三點的圓與斜邊AB交于點E，連接DE．

（1）求證：AC=AE；

（2）若AC=6，CB=8，求△ACD外接圓的直徑．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）3

【解析】試題分析：（1）由Rt△ABC中，∠ACB=90°，可得AD是直徑，可得△ADE為直角三角形，在兩個直角三角形中，利用AAS可得兩三角形全等，得到答案；

（2）先根據(jù)勾股定理求出AB的長，由（1）知，AC=AE，CD=DE，設(shè)CD=x，則BD=8-x，在Rt△BDE中，根據(jù)勾股定理求出x的值，同理，在Rt∠ACD中求出AD的長，進而可得出結(jié)論．

試題解析：

（1）證明：∵Rt△ABC中，∠ACB=90°，

∴AD為圓的直徑，

∴∠AED=90°，

∵AD是△BAC的∠CAB的角平分線，

∴∠CAD=∠EAD，

Rt△ACD與Rt△ADE中，

∠CAD=∠BAD， ∠ACB=∠AED ，AD=AD ，

∴Rt△ACD≌Rt△ADE（AAS），

∴AC=AE．

（2）∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，CB=8，

∴

∵由（1）知，AC=AE，CD=DE，∠ACD=∠AED=90°，

∴設(shè)CD=x，則BD=8-x，BE=AB-AE=10-6=4，

在Rt△BDE中， ，即 解得x=3．

在Rt△ACD中 即解得AD=.