Question

如圖，矩形AOCD的頂點(diǎn)A的坐標(biāo)是（0，4）．動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)O出發(fā)沿線段OC（不包括端點(diǎn)O，C）以每秒2個(gè)單位長度的速度勻速向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)沿線段CD（不包括端點(diǎn)C，D）以每秒1個(gè)單位長度的速度勻速向點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)．當(dāng)其中一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一點(diǎn)也停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（秒），當(dāng)t=2（秒）時(shí)，PQ=．解答下列問題：

（1）求點(diǎn)D的坐標(biāo)；

（2）直接寫出t的取值范圍；

（3）連接AQ并延長交x軸于點(diǎn)E，把AQ沿AD翻折，點(diǎn)Q落在CD延長線上點(diǎn)F處，連接EF．

①t為何值時(shí)，PQ∥AF；

②△AEF的面積S是否隨t的變化而變化？若變化，求出S與t的函數(shù)關(guān)系式；若不變化，求出S的值．

Answer 1

（1）D（8，4）；（2）0＜t＜4；（3）①t=6-，②結(jié)論：△AEF的面積S不變化， S=32.

【解析】（1）由題意可知：當(dāng)t=2秒時(shí)，OP=4，CQ=2，設(shè)OC=x，則PC=x-4，∵在Rt△PCQ中，由勾股定理得：PC²+CQ²=PQ²，∴（x-4）²+2²=（）²，x₁=8，x₂=0（不符合題意舍去），∵矩形AOCD的頂點(diǎn)A的坐標(biāo)是（0，4），∴D（8，4）.

（2）∵D（8，4），∴t的取值范圍是：0＜t＜4.

（3）①∵PQ∥AF，∴∠PQC=∠AFD，∵∠ADF=∠PCQ=90°，∴△CPQ∽△DAF，

∴，由翻折變換的性質(zhì)可知：DF=DQ=4-t，∴，化簡得，t₁=6+，t₂=6-，由（2）知0＜t＜4，∴t₁=6+＞4舍去，

∴當(dāng)t=6-時(shí)，PQ∥AF；

②結(jié)論：△AEF的面積S不變化.

理由是：∵四邊形AOCD是矩形，∴AD∥OE，∴∠DAQ=∠CEQ,∵∠DQA=∠CQE,∴△AQD∽△EQC，∴，∴，，由翻折變換的性質(zhì)可知：DF=DQ=4-t，則CF=CD+DF=8-t，∴S=S_梯形AOCF+S_△CEF-S_△AOE=（OA+CF）×OC+CF×CE-OA×OE=[4+（8-t）]×8+（8-t）×-×4×（8+）=32（定值）.

∴△AEF的面積S不變化，S=32．