Question

已知直線y=kx﹣3與x軸交于點(diǎn)A（4，0），與y軸交于點(diǎn)C．拋物線y=﹣x²+mx+n經(jīng)過點(diǎn)A和點(diǎn)C．且與x軸交于點(diǎn)B，動點(diǎn)P在x軸上以每秒1個單位長度的速度由點(diǎn)B向點(diǎn)A運(yùn)動．點(diǎn)Q由點(diǎn)C沿線段CA向點(diǎn)A運(yùn)動．且速度是點(diǎn)P運(yùn)動速度的2倍．

（1）求直線的解析式和拋物線的解析式；

（2）如果點(diǎn)P和點(diǎn)Q同時出發(fā)．運(yùn)動時間為t（秒）．試問當(dāng)t為何值時，以A、P、Q為頂點(diǎn)的三角形與△AOC相似．

Answer 1

【考點(diǎn)】二次函數(shù)綜合題．

【專題】綜合題．

【分析】（1）先把A點(diǎn)坐標(biāo)代入y=kx﹣3可求出k得到直線的解析式為y=x﹣3，再利用直線解析式求出C（0，﹣3），然后利用待定系數(shù)法求拋物線的解析式；

（2）利用拋物線與x軸的交點(diǎn)問題求出B（1，0），則可根據(jù)勾股定理計算出AB=5，則AP=3﹣t，AQ=5﹣2t，然后分類討論：由于∠PAQ=∠OAC，所以當(dāng)∠APQ=∠AOC時，△APQ∽△AOC，利用相似比得到=；當(dāng)∠APQ=∠AOC時，△APQ∽△ACO，利用相似比得到=，再分別解關(guān)于t的方程求出t即可．

【解答】解：（1）把A（4，0）代入y=kx﹣3得4k﹣3=0，解得k=，則直線的解析式為y=x﹣3；

當(dāng)x=0時，y=x﹣3=﹣3，則C（0，﹣3），

把A（4，0），C（0，﹣3）代入y=﹣x²+mx+n得，解得．

所以拋物線的解析式為y=﹣x²+x﹣3；

（2）對于拋物線y=﹣x²+x﹣3；

當(dāng)y=0，﹣x²+x﹣3=0，解得x₁=1，x₂=4，

∴B（1，0），

∴AB=3，

∵AO=4，

∴AC==5，

∴AP=3﹣t，AQ=5﹣2t，

∵∠PAQ=∠OAC，

∴當(dāng)∠APQ=∠AOC時，△APQ∽△AOC，則=，即=，解得t=；

當(dāng)∠APQ=∠AOC時，△APQ∽△ACO，則=，即=，解得t=，

綜上所述，當(dāng)t的值時，以P、Q、A為頂點(diǎn)的三角形與△AOC相似．

【點(diǎn)評】本題考查了二次函數(shù)的綜合題：熟練掌握二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征和一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征；能用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，會求拋物線與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)；靈活運(yùn)用相似三角形的判定與性質(zhì)和分類討論思想．