Question

如圖，拋物線y=(x-3)²-1與x軸交于A，B兩點（點A在點B的左側(cè)），與y軸交于點C，頂點為D了.

（1）求點A，B，D的坐標；

（2）連接CD，過原點O作OE⊥CD，垂足為H，OE與拋物線的對稱軸交于點E，連接AE，AD.求證：∠AEO=∠ADC；

（3）以（2）中的點E為圓心，1為半徑畫圓，在對稱軸右側(cè)的拋物線上有一動點P，過點P作⊙E的切線，切點為Q，當PQ的長最小時，求點P的坐標，并直接寫出點Q的坐標.

Answer 1

（1）頂點D的坐標為（3，-1）.

令y=0，得(x-3)²-1=0，

解得x₁=3+，x₂=3-.

∵點A在點B的左側(cè)，

∴A點坐標(3-，0)，B點坐標（3+，0）.

（2）過D作DG⊥y軸，垂足為G.

則G（0，-1），GD=3.

令x=0，則y=，∴C點坐標為（0，）.

∴GC=-(-1)=.

設對稱軸交x軸于點M.

∵OE⊥CD，

∴∠GCD+∠COH=90°.

∵∠MOE+∠COH=90°，

∴∠MOE=∠GCD.

又∵∠CGD=∠OMN=90°，

∴△DCG∽△EOM.

∴.

∴EM=2，即點E坐標為(3，2)，ED=3.

由勾股定理，得AE²=6，AD²=3，

∴AE²+AD²=6+3=9=ED².

∴△AED是直角三角形，即∠DAE=90°.

設AE交CD于點F.

∴∠ADC+∠AFD=90°.

又∵∠AEO+∠HFE=90°，

∴∠AFD=∠HFE，

∴∠AEO=∠ADC.

（3）由⊙E的半徑為1，根據(jù)勾股定理，得PQ²=EP²-1.

要使切線長PQ最小，只需EP長最小，即EP²最小.

設P坐標為（x，y），由勾股定理，得EP²=(x-3)²+(y-2)².

∵y=(x-3)²-1，

∴(x-3)²=2y+2.

∴EP²=2y+2+y²-4y+4

     =(y-1)²+5.

當y=1時，EP²最小值為5.

把y=1代入y=(x-3)²-1，得(x-3)²-1=1，

解得x₁=1，x₂=5.

又∵點P在對稱軸右側(cè)的拋物線上，

∴x₁=1舍去.

∴點P坐標為(5，1).

此時Q點坐標為（3，1）或().