如圖,拋物線y=(x-3)2-1與x軸交于A,B兩點(點A在點B的左側(cè)),與y軸交于點C,頂點為D了.
(1)求點A,B,D的坐標;
(2)連接CD,過原點O作OE⊥CD,垂足為H,OE與拋物線的對稱軸交于點E,連接AE,AD.求證:∠AEO=∠ADC;
(3)以(2)中的點E為圓心,1為半徑畫圓,在對稱軸右側(cè)的拋物線上有一動點P,過點P作⊙E的切線,切點為Q,當PQ的長最小時,求點P的坐標,并直接寫出點Q的坐標.
(1)頂點D的坐標為(3,-1).
令y=0,得(x-3)2-1=0,
解得x1=3+,x2=3-.
∵點A在點B的左側(cè),
∴A點坐標(3-,0),B點坐標(3+,0).
(2)過D作DG⊥y軸,垂足為G.
則G(0,-1),GD=3.
令x=0,則y=,∴C點坐標為(0,).
∴GC=-(-1)=.
設對稱軸交x軸于點M.
∵OE⊥CD,
∴∠GCD+∠COH=90°.
∵∠MOE+∠COH=90°,
∴∠MOE=∠GCD.
又∵∠CGD=∠OMN=90°,
∴△DCG∽△EOM.
∴.
∴EM=2,即點E坐標為(3,2),ED=3.
由勾股定理,得AE2=6,AD2=3,
∴AE2+AD2=6+3=9=ED2.
∴△AED是直角三角形,即∠DAE=90°.
設AE交CD于點F.
∴∠ADC+∠AFD=90°.
又∵∠AEO+∠HFE=90°,
∴∠AFD=∠HFE,
∴∠AEO=∠ADC.
(3)由⊙E的半徑為1,根據(jù)勾股定理,得PQ2=EP2-1.
要使切線長PQ最小,只需EP長最小,即EP2最小.
設P坐標為(x,y),由勾股定理,得EP2=(x-3)2+(y-2)2.
∵y=(x-3)2-1,
∴(x-3)2=2y+2.
∴EP2=2y+2+y2-4y+4
=(y-1)2+5.
當y=1時,EP2最小值為5.
把y=1代入y=(x-3)2-1,得(x-3)2-1=1,
解得x1=1,x2=5.
又∵點P在對稱軸右側(cè)的拋物線上,
∴x1=1舍去.
∴點P坐標為(5,1).
此時Q點坐標為(3,1)或().
科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
如圖:在平面直角坐標系中,平行四邊形OABC,O是坐標原點,OC在軸的正半軸上,OC=6, B(9,4)
(1)求tanAOC
(2)D從C點出發(fā),延CO方向以每秒0.75單位的速度運動,點E從O點出發(fā)以每秒2個單位的速度,沿線段OA, AB運動,當t為多少時,直線DE平分平行四邊形OABC的面積。
(3)在(2)中的直線上是否存在一點P使⊿BEP 與⊿BEC相似,若存在求點P的坐標,若不存在請說明理由。
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
如圖,小蕓在自家樓房的窗戶A處,測量樓前的一棵樹CD的高. 現(xiàn)測得樹頂C處的俯角為45°,樹底D處的俯角為60°,樓底到大樹的距離BD為20米.請你幫助小蕓計算樹的高度(精確到0.1米).
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
如圖,在邊長為1個單位長度的小正方形所組成的網(wǎng)格中,△ABC的頂點均在格點上.
①sinB的值是 ;
②畫出△ABC關于直線l對稱的△A1B1C1(A與A1,B與B1,C與C1相對應).連接AA1,BB1,并計算梯形AA1B1B的面積.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
如圖,平行于x軸的直線AC分別交函數(shù)(x≥o)與(x≥0)的圖象于B、C兩 點,過點c作y軸的平行線交y1的圖象于點D,直線DE∥AC,交y2的圖象于點E,則
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
如圖,四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O,AB是⊙O的直徑,AC和BD相交于點E,且.
(1)求證:BC=CD
(2)分別延長AB,DC交于點P,過點A作AF⊥CD交CD的延長線于點F,若PB=OB, CD=,求DF的長.
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