Question

【題目】如圖，在Rt△ACB中，∠C=90°，AC=30cm，BC=25cm，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)C出發(fā)，沿CA方向運(yùn)動(dòng)，速度是2cm/s，動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)，沿BC方向運(yùn)動(dòng)，速度是1cm/s．

（1）幾秒后P，Q兩點(diǎn)相距25cm？
（2）幾秒后△PCQ與△ABC相似？
（3）設(shè)△CPQ的面積為S1 ， △ABC的面積為S2 ， 在運(yùn)動(dòng)過程中是否存在某一時(shí)刻t，使得S1：S2=2：5？若存在，求出t的值；若不存在，則說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：設(shè)x秒后P、Q兩點(diǎn)相距25cm，

則CP=2xcm，CQ=（25﹣x）cm，

由題意得，（2x）2+（25﹣x）2=252，

解得，x1=10，x2=0（舍去），

則10秒后P、Q兩點(diǎn)相距25cm

（2）

解：設(shè)y秒后△PCQ與△ABC相似，

當(dāng)△PCQ∽△ACB時(shí)， = ，即 = ，

解得，y= ，

當(dāng)△PCQ∽△BCA時(shí)， = ，即 = ，

解得，y= ，

故 秒或 秒后△PCQ與△ABC相似

（3）

解：△CPQ的面積為S1= ×CQ×CP= ×2t×（25﹣t）=﹣t2+25t，

△ABC的面積為S2= ×AC×BC=375，

由題意得，5（﹣t2+25t）=375×2，

解得，t1=10，t2=15，

故運(yùn)動(dòng)10秒或15秒時(shí)，S1：S2=2：5

【解析】（1）設(shè)x秒后P、Q兩點(diǎn)相距25cm，用x表示出CP、CQ，根據(jù)勾股定理列出方程，解方程即可；（2）分△PCQ∽△ACB和△PCQ∽△BCA兩種情況，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)列出關(guān)系式，解方程即可；（3）用t分別表示出CP、CQ，根據(jù)題意列出方程，解方程即可．