【題目】如圖,CD為⊙O的直徑,點(diǎn)B在⊙O上,連接BC、BD,過(guò)點(diǎn)B的切線AE與CD的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)A,OE∥BD,交BC于點(diǎn)F,交AE于點(diǎn)E.

(1)求證:△BEF∽△DBC.;
(2)若⊙O的半徑為3,∠C=32°,求BE的長(zhǎng).(精確到0.01)

【答案】
(1)證明:連接OB.

∵過(guò)點(diǎn)B的切線AE與CD的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)A,

∴OB⊥AE,

∴∠OBE=∠EBF+∠CBO=90°.

∵CD為⊙O的直徑

∴∠CBD=∠CBO+∠OBD=90°,

∴∠EBF=∠OBD.

∵OB、OD是⊙O的半徑,

∴OB=OD,

∴∠OBD=∠CDB,

∴∠EBF=∠CDB.

∵OE∥BD,

∴∠EFB=∠CBD

∴△BEF∽△DBC


(2)解:∵由(1)可知△BEF∽△DBC

∴∠OBE=90°,

∴∠E=∠C.

∵∠C=32°,

∴∠E=∠C=32°.

∵⊙O的半徑為3,

∴OB=3.

在Rt△BOE中,∠OBE=90°,∠E=32°,OB=3,

∴tanE= ,即tan32°= ,

∴BE= ≈4.80.


【解析】(1)連接OB,由切線的性質(zhì)得出OB⊥AE,故可得出∠OBE=∠EBF+∠CBO=90°.再由圓周角定理得出∠CBD=∠CBO+∠OBD=90°,故∠EBF=∠OBD.根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可知∠OBD=∠CDB,故∠EBF=∠CDB,進(jìn)而可得出結(jié)論;(2)由(1)可知△BEF∽△DBC,所以∠OBE=90°,∠E=∠C.在Rt△BOE中,利用銳角三角函數(shù)的定義即可得出結(jié)論.
【考點(diǎn)精析】掌握切線的性質(zhì)定理和相似三角形的判定與性質(zhì)是解答本題的根本,需要知道切線的性質(zhì):1、經(jīng)過(guò)切點(diǎn)垂直于這條半徑的直線是圓的切線2、經(jīng)過(guò)切點(diǎn)垂直于切線的直線必經(jīng)過(guò)圓心3、圓的切線垂直于經(jīng)過(guò)切點(diǎn)的半徑;相似三角形的一切對(duì)應(yīng)線段(對(duì)應(yīng)高、對(duì)應(yīng)中線、對(duì)應(yīng)角平分線、外接圓半徑、內(nèi)切圓半徑等)的比等于相似比;相似三角形周長(zhǎng)的比等于相似比;相似三角形面積的比等于相似比的平方.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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