Question

如圖，在△ABC中，AB=10，AC=8，BC=6，經(jīng)過點C且與邊AB相切的動圓與CB，CA分別相交于點E，F(xiàn)，則線段EF長度的最小值是（　�。�

A． B．4.75  C．5       D．4.8

　

Answer 1

D【考點】切線的性質；勾股定理的逆定理；圓周角定理．

【專題】壓軸題．

【分析】設EF的中點為O，圓O與AB的切點為D，連接OD，連接CO，CD，則有OD⊥AB；由勾股定理的逆定理知，△ABC是直角三角形OC+OD=EF，由三角形的三邊關系知，CO+OD＞CD；只有當點O在CD上時，OC+OD=EF有最小值為CD的長，即當點O在直角三角形ABC的斜邊AB的高上CD時，EF=CD有最小值，由直角三角形的面積公式知，此時CD=BC•AC÷AB=4.8．

【解答】解：如圖，∵∠ACB=90°，

∴EF是直徑，

設EF的中點為O，圓O與AB的切點為D，連接OD，CO，CD，則OD⊥AB．

∵AB=10，AC=8，BC=6，

∴∠ACB=90°，

∴EF為直徑，OC+OD=EF，

∴CO+OD＞CD，

∵當點O在直角三角形ABC的斜邊AB的高上CD時，EF=CD有最小值

∴由三角形面積公式得：CD=BC•AC÷AB=4.8．

故選D．

【點評】本題利用了切線的性質，勾股定理的逆定理，三角形的三邊關系，直角三角形的面積公式求解．