【題目】如圖①,∠QPN的頂點P在正方形ABCD兩條對角線的交點處,∠QPN=α,∠QPN的兩邊分別與正方形ABCD的邊ADCD交于點E和點F(點F與點C、D不重合).

(1)如圖①,當α=90°時,求證:DE+DF=AD

(2)如圖②,將圖①中的正方形ABCD改為∠ADC=120°的菱形,其他條件不變,當α=60°時,(1)中的結(jié)論變?yōu)?/span> ,請給出證明.

(3)(2)的條件下,將∠QPN繞點P旋轉(zhuǎn),若旋轉(zhuǎn)過程中∠QPN的邊PQ與邊AD的延長線交于點E,其他條件不變,探究在整個運動變化過程中,DE,DF,AD之間滿足的數(shù)量關系,直接寫出結(jié)論,不用加以證明.

【答案】1)見解析(2)見解析(3DFDEAD

【解析】

1)利用正方形的性質(zhì)得出角與線段的關系,易證得△APE≌△DPF,可得出AEDF,即可得出結(jié)論DEDFAD,

2)取AD的中點M,連接PM,利用菱形的性質(zhì),可得出△MDP是等邊三角形,易證△MPE≌△FPD,得出MEDF,由DEMEAD,即可得出DEDFAD,

3)①當點E落在AD上時,DEDFAD,②當點E落在AD的延長線上時,DFDEAD

1)正方形ABCD的對角線AC,BD交于點P,

PAPD,∠PAE=∠PDF45°,

∵∠APE+∠EPD=∠DPF+∠EPD90°,

∴∠APE=∠DPF,

在△APE和△DPF

,

∴△APE≌△DPFASA),

AEDF,

DEDFAD;

2)如圖②,取AD的中點M,連接PM

∵四邊形ABCD為∠ADC120°的菱形,

BDAD,∠DAP30°,∠ADP=∠CDP60°,

∴△MDP是等邊三角形,

PMPD,∠PME=∠PDF60°,

∵∠PAM30°,

∴∠MPD60°,

∵∠QPN60°,

∴∠MPE=∠FPD,

在△MPE和△DPF中,

,

∴△MPE≌△DPFASA

MEDF,

DEDFAD;

3)如圖,

如圖③,當點E落在AD的延長線上時,

AD的中點M,連接PM,

∵四邊形ABCD為菱形,∠ADC120°,

ADCD,∠DAP30°,ACBD,

∴∠ADP=∠CDP60°,

AMMD,

PMMD,

∴△MDP是等邊三角形,

∴∠PME=∠MPD60°,PMPD,

∵∠QPN60°,

∴∠MPE=∠FPD,

在△MPE和△DPF中,

,

∴△MPE≌△DPFASA).

MEDF

DFDEMEDEDMAD

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計算并完成表格:

轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)盤的次數(shù)

落在“鉛筆”的次數(shù)

落在“鉛筆”的頻率

________

________

________

________

________

________

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