【題目】在直角坐標(biāo)系中,O為坐標(biāo)原點(diǎn),點(diǎn)A的坐標(biāo)是(2,2),若點(diǎn)P在x軸上,且△APO是直角三角形,則點(diǎn)P的坐標(biāo)是 ________.
【答案】(2,0)或(4,0)
【解析】
根據(jù)△APO是直角三角形,分兩種情況:∠A是直角或∠P是直角,進(jìn)行討論,即可求解.
①當(dāng)∠A是直角時(shí),
∵點(diǎn)A的坐標(biāo)是(2,2),若點(diǎn)P在x軸上,
∴∠AOP=45°,即△APO是等腰直角三角形,
∴
∴,
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)是(4,0)
②∠P是直角時(shí),
∵點(diǎn)A的坐標(biāo)是(2,2),若點(diǎn)P在x軸上,
∴∠AOP=45°,即△APO是等腰直角三角形,
∴OP=AP=2,
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)是(2,0),
綜上所述:點(diǎn)P的坐標(biāo)是(2,0)或(4,0)
故答案為:(2,0)或(4,0).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,點(diǎn)A(0,b),點(diǎn)B(a,0),點(diǎn)D(-2,0),其中a、b滿足, DE⊥x軸,且∠BED=∠ABO,直線AE交x軸于點(diǎn)C.
⑴ 分別求出點(diǎn)A、B的坐標(biāo);
⑵ 求證:△AOB≌△BDE,并求出點(diǎn)E的坐標(biāo)
⑶ 若以AB為腰在第一象限內(nèi)構(gòu)造等腰直角△ABF,直接寫出點(diǎn)F的坐標(biāo).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】閱讀探索
問題背景:著名數(shù)學(xué)家華羅庚提出把“數(shù)形關(guān)系”(勾股定理)帶到其他星球,作為地球人與其他星球“人”進(jìn)行第一次”談話“的語言.2002年8月在北京召開的國(guó)際數(shù)學(xué)大會(huì)會(huì)標(biāo)取材于我國(guó)古代數(shù)學(xué)家趙爽的《勾股圓方圖注》,它是由四個(gè)全等的直角三角形與中間的小正方形拼成的一個(gè)大正方形(如圖1所示).勾股定理是一條古老的數(shù)學(xué)定理,它有很多種證明方法,我國(guó)漢代數(shù)學(xué)家趙爽根據(jù)弦圖,利用面積進(jìn)行了證明.
趙爽證明方法如下:
以a、b為直角邊(b>a),以c為斜邊作四個(gè)全等的直角三角形,則每個(gè)直角三角形的面積等于,把這四個(gè)直角三角形拼成如圖1所示形狀.
∵Rt△DAE≌Rt△ABF
∴∠EDA=∠FAB
∵∠EAD+∠EDA=90°
∴∠FAB+∠EAD=90°
∴四邊形ABCD是一個(gè)邊長(zhǎng)為c的正方形,它的面積等于
∵EF=FG=GH=HE=b-a
∠HEF=90°
∴四邊形EFGH是一個(gè)邊長(zhǎng)為b-a的正方形,它的面積等于
∴
∴ 從而證明了勾股定理.
思維拓展:
1、如果大正方形的面積為13,小正方形的面積為1,直角三角形的較短直角邊長(zhǎng)為a,較長(zhǎng)直角邊長(zhǎng)為b,那么的值為 .
2、美國(guó)第二十屆總統(tǒng)加菲爾德也曾經(jīng)給出了勾股定理的一種證明方法,如圖2所示,
他用兩個(gè)全等的直角三角形和一個(gè)等腰直角三角形拼出了一個(gè)直角梯形,請(qǐng)你利用此圖形驗(yàn)證勾股定理.
證明:∵直角梯形ABCD的面積可以用兩種方法表示:
第一種方法表示為:
第二種方法表示為:
∴ =
∴
探索創(chuàng)新:
用紙做成四個(gè)全等的直角三角形,兩直角邊的長(zhǎng)分別為a和b,斜邊長(zhǎng)為c,請(qǐng)你開動(dòng)腦筋,將它們拼成一個(gè)能證明勾股定理的圖形(不同于上面圖1和圖2).請(qǐng)畫出你拼成的圖形,并用你畫的圖形證明勾股定理.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】 為更新果樹品種,某果園計(jì)劃新購(gòu)進(jìn)A、B兩個(gè)品種的果樹苗栽植培育,若計(jì)劃購(gòu)進(jìn)這兩種果樹苗共45棵,其中A種苗的單價(jià)為7元/棵,購(gòu)買B種苗所需費(fèi)用y(元)與購(gòu)買數(shù)量x(棵)之間存在如圖所示的函數(shù)關(guān)系.
(1)求y與x的函數(shù)關(guān)系式;
(2)若在購(gòu)買計(jì)劃中,B種苗的數(shù)量不超過35棵,但不少于A種苗的數(shù)量,請(qǐng)?jiān)O(shè)計(jì)購(gòu)買方案,使總費(fèi)用最低,并求出最低費(fèi)用.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】(閱讀)
如圖1,四邊形OABC中,OA=a,OC=8,BC=6,∠AOC=∠BCO=90°,經(jīng)過點(diǎn)O的直線l將四邊形分成兩部分,直線l與OC所成的角設(shè)為θ,將四邊形OABC的直角∠OCB沿直線l折疊,點(diǎn)C落在點(diǎn)D處,我們把這個(gè)操作過程記為FZ[θ,a].
(理解)
若點(diǎn)D與點(diǎn)A重合,則這個(gè)操作過程為FZ[45°,8];
(嘗試)
(1)若點(diǎn)D與OA的中點(diǎn)重合,則這個(gè)操作過程為FZ[____,____];
(2)若點(diǎn)D恰為AB的中點(diǎn)(如圖2),求θ的值;
(應(yīng)用)
經(jīng)過FZ[45°,a]操作,點(diǎn)B落在點(diǎn)E處,若點(diǎn)E在四邊形OABC的邊AB上,直線l與AB相交于點(diǎn)F,試畫出圖形并解決下列問題:
①求出a的值;
②若P為邊OA上一動(dòng)點(diǎn),連接PE、PF,請(qǐng)直接寫出PE+PF的最小值.
(備注:等腰直角三角形的三邊關(guān)系滿足或)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】賽龍舟是端午節(jié)的主要習(xí)俗,某市甲乙兩支龍舟隊(duì)在端午節(jié)期間進(jìn)行劃龍舟比賽,從起點(diǎn)A駛向終點(diǎn)B,在整個(gè)行程中,龍舟離開起點(diǎn)的距離y(米)與時(shí)間x(分鐘)的對(duì)應(yīng)關(guān)系如圖所示,請(qǐng)結(jié)合圖象解答下列問題:
(1)起點(diǎn)A與終點(diǎn)B之間相距多遠(yuǎn)?
(2)哪支龍舟隊(duì)先出發(fā)?哪支龍舟隊(duì)先到達(dá)終點(diǎn)?
(3)分別求甲、乙兩支龍舟隊(duì)的y與x函數(shù)關(guān)系式;
(4)甲龍舟隊(duì)出發(fā)多長(zhǎng)時(shí)間時(shí)兩支龍舟隊(duì)相距200米?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】天貓網(wǎng)的新時(shí)代書店準(zhǔn)備購(gòu)進(jìn)甲、乙兩種圖書,已知甲種圖書進(jìn)價(jià)比乙種圖書貴4元,用3000元購(gòu)進(jìn)甲種圖書的數(shù)量與用2400元購(gòu)進(jìn)乙種圖書的數(shù)量相同.
(1)甲、乙兩種圖書的單價(jià)分別為多少元?
(2)若甲種圖書每本售價(jià)30元,乙種圖書每本售價(jià)25元,書店欲同時(shí)購(gòu)進(jìn)兩種圖書共100本,請(qǐng)寫出所獲利潤(rùn)y(單位:元)關(guān)于甲種圖書x(單位:本)的函數(shù)解析式;
(3)在(2)的條件下,若書店計(jì)劃用不超過1800元購(gòu)進(jìn)兩種圖書,且甲種圖書至少購(gòu)進(jìn)40本,并將所購(gòu)圖書全部銷售,共有多少種購(gòu)進(jìn)方案?哪一種方案利潤(rùn)最大?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知Rt△ABC中,∠B=90°,
(1)根據(jù)要求作圖(尺規(guī)作圖,保留作圖痕跡,不寫畫法):
①作∠BAC的平分線AD交BC于D;
②作線段AD的垂直平分線交AB于E,交AC于F,垂足為H;
③連接ED.
(2)在(1)的基礎(chǔ)上寫出一對(duì)全等三角形:△ ≌△ 并加以證明.
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