Question

【題目】已知中，，，點，分別在邊，上（不與端點重合），，射線交延長線于點，點在直線上，.

（1）（觀察猜想）如圖1，點在射線上，當時，

①線段與的數(shù)量關系是______；

②的度數(shù)是______；

（2）（探究證明）如圖2點在射線上，當時，判斷并證明線段與的數(shù)量關系，求的度數(shù)；

（3）（拓展延伸）如圖3，點在直線上，當時，，點是邊上的三等分點，直線與直線交于點，請直接寫出線段的長.

Answer 1

【答案】（1）①，②；（2）；（3）滿足條件的的長為或4.

【解析】

（1）①延長交于點，交于點O，先由等邊對等角得到，然后證明，即可得到BM=AN；②再由等邊對等角和平行線推出，由三角形外角性質得到，可推出，即可得.

（2）同理可證，同（1）可推出 ，最后得到.

（3）當時，作于，在中，利用60°可求出邊長，然后在在中求出BM，再由，利用相似比求出CF，當時，同法可求.

（1）①如圖1中，延長交于點，交于點O.

∵，

∴，

∵，，

∴，

∴；

②∵，

∴，

∴，

∵，

∴，

∵，

∴，，

∵∠ANB+∠ENF=180°，∠BMA+∠BMC=180°，

∴，

∴，

∵，，

∴，

∴，

故答案為①，②.

（2）如圖2中，設交于點.

∵，

∴，

∵，，

∴，

∴，，

∴，

∵，

∴，

∵，

∴，，

∴，

∴，

∵，，

∴，

∴.

（3）①如圖3-1中，當時，作于.

由題意，在中，

∵，，

∴，，，

在中，，

由（2）可知：，∵，

∴，

∴，

∴，

∴，

∴.

②如圖3-2中，當時，同法可得.

綜上所述，滿足條件的的長為或4.