Question

2．如圖，Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BC=6．
（1）實踐操作：尺規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡．
①作∠ABC的角平分線交AC于點D．
②作線段BD的垂直平分線，交AB于點E，交BC于點F，連接DE、DF．
（2）推理計算：四邊形BFDE的面積為8$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 （1）利用基本作圖（作一個角等于已知角和作已知線段的垂直平分線）作出BD和EF；
（2）先證明四邊形BEDF為菱形，再利用含30度的直角三角形三邊的關系求出BF和CD，然后利用菱形的面積公式求解．

解答 解：（1）如圖，DE、DF為所作；

（2）∵∠C=90°，∠A=30°，
∴∠ABC=60°，AB=2BC=12，
∵BD為∠ABC的角平分線，
∴∠DBC=∠EBD=30°，
∵EF垂直平分BD，
∴FB=FD，EB=ED，
∴∠FDB=∠DBC=30°，∠EDB=∠EBD=30°，
∴DE∥BF，BE∥DF，
∴四邊形BEDF為平行四邊形，
而FB=FD，
∴四邊形BEDF為菱形，
在Rt△ADE中，DE=$\frac{1}{2}$AE，
而AE=AB-BE，
∴12-BE=$\frac{1}{2}$BE，解得BE=8，
在Rt△BDC中，CD=$\frac{\sqrt{3}}{3}$BC=2$\sqrt{3}$，
∴四邊形BFDE的面積=$\frac{1}{2}$×8×2$\sqrt{3}$=8$\sqrt{3}$．
故答案為8$\sqrt{3}$．

點評 本題考查了作圖-基本作圖：熟練掌握基本作圖（作一條線段等于已知線段；作一個角等于已知角；作已知線段的垂直平分線；作已知角的角平分線；過一點作已知直線的垂線）．