如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,拋物線y=ax2+bx+4與x軸的一個(gè)交點(diǎn)為A(﹣2,0),與y軸的交點(diǎn)為C,對(duì)稱軸是x=3,對(duì)稱軸與x軸交于點(diǎn)B.

(1)求拋物線的函數(shù)表達(dá)式;

(2)經(jīng)過B,C的直線l平移后與拋物線交于點(diǎn)M,與x軸交于點(diǎn)N,當(dāng)以B,C,M,N為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形時(shí),求出點(diǎn)M的坐標(biāo);

(3)若點(diǎn)D在x軸上,在拋物線上是否存在點(diǎn)P,使得△PBD≌△PBC?若存在,直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說明理由.


解:(1)∵拋物線y=ax2+bx+4交x軸于A(﹣2,0),

∴0=4a﹣2b+4,

∵對(duì)稱軸是x=3,

∴﹣=3,即6a+b=0,

兩關(guān)于a、b的方程聯(lián)立解得 a=﹣,b=,

∴拋物線為y=﹣x2+x+4.

(2)∵四邊形為平行四邊形,且BC∥MN,

∴BC=MN.

①N點(diǎn)在M點(diǎn)右下方,即M向下平移4個(gè)單位,向右平移2個(gè)單位與N重合.

設(shè)M(x,﹣x2+x+4),則N(x+2,﹣x2+x),

∵N在x軸上,

∴﹣x2+x=0,

解得 x=0(M與C重合,舍去),或x=6,

∴xM=6,

∴M(6,4).

②M點(diǎn)在N右下方,即N向下平行4個(gè)單位,向右2個(gè)單位與M重合.

設(shè)M(x,﹣x2+x+4),則N(x﹣2,﹣x2+x+8),

∵N在x軸上,

∴﹣x2+x+8=0,

解得 x=3﹣,或x=3+

∴xM=3﹣,或3+

∴M(3﹣,﹣4)或(3+,﹣4)

綜上所述,M的坐標(biāo)為(6,4)或(3﹣,﹣4)或(3+,﹣4).

(3)∵OC=4,OB=3,

∴BC=5.

如果△PBD≌△PBC,那么BD=BC=5,

∵D在x軸上,

∴D為(﹣2,0)或(8,0).

①當(dāng)D為(﹣2,0)時(shí),連接CD,過B作直線BE平分∠DBC交CD于E,交拋物線于P1,P2,

此時(shí)△P1BC≌△P1BD,△P2BC≌△P2BD,

∵BC=BD,

∴E為CD的中點(diǎn),即E(﹣1,2),

設(shè)過E(﹣1,2),B(3,0)的直線為y=kx+b,則

解得 ,

∴BE:y=﹣x+

設(shè)P(x,y),則有,

解得 ,或,

則P1(4+,),P2(4﹣,).

②當(dāng)D為(8,0)時(shí),連接CD,過B作直線BF平分∠DBC交CD于F,交拋物線于P3,P4

此時(shí)△P3BC≌△P3BD,△P4BC≌△P4BD,

∵BC=BD,

∴F為CD的中點(diǎn),即E(4,2),

設(shè)過E(4,2),B(3,0)的直線為y=kx+b,則,

解得

∴BF:y=2x﹣6.

設(shè)P(x,y),則有

解得 ,

則P3(﹣1+,﹣8+2),P4(﹣1﹣,﹣8﹣2).

綜上所述,點(diǎn)P的坐標(biāo)為(4+,)或(4﹣,)或(﹣1+,﹣8+2)或(﹣1﹣,﹣8﹣2

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正方形的一條對(duì)角線長為4,則這個(gè)正方形的面積是( 。

 

A.

8

B.

4

C.

8

D.

16

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A.

,1)

B.

,﹣1)

C.

(1,﹣

D.

(2,﹣1)

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如圖,經(jīng)過刨平的木板上的兩個(gè)點(diǎn),能彈出一條筆直的墨線,而

   第2題圖            

 
且只能彈出一條墨線.能解釋這一實(shí)際應(yīng)用的數(shù)學(xué)知識(shí)是(   )

A.兩點(diǎn)確定一條直線    B.兩點(diǎn)之間線段最短

C.垂線段最短          D.在同一平面內(nèi),過一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直

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