Question

【題目】△ABC是等邊三角形，點D是射線BC上的一個動點（點D不與點B、C重合），△ADE是以AD為邊的等邊三角形，過點E作BC的平行線，分別交射線AB、AC于點F、G，連接BE.

(1) 如圖1，當點D在線段BC上時：

①求證：△AEB≌△ADC；②求證：四邊形BCGE是平行四邊形；

（2）如圖2，當點D在BC的延長線上，且CD＝BC時，試判斷四邊形BCGE是什么特殊的四邊形？并說明理由.

Answer 1

【答案】（1）①證明見解析；②證明見解析；（2）四邊形BCGE是菱形，理由見解析.

【解析】

（1）①利用有兩條邊對應相等并且夾角相等的兩個三角形全等即可證明△AEB≌△ADC；
②由△AEB≌△ADC，可得∠ABE=∠C=60°，進而證明∠ABE=∠BAC，則可得到EB∥GC又EG∥BC，所以四邊形BCGE是平行四邊形；

（2）與（1）一樣可證得△ABE≌△ADC，得到BE=CD；與（1）一樣可證得四邊形BCGE為平行四邊形，根據菱形的判定方當BC=BE時，四邊形BCGE是菱形，此時BC=CD，所以有DC=BC時，四邊形BCGE是菱形．

解：（1）證明：

∵△ABC與△ADE都是等邊三角形

∴AE=AD，AB=AC，∠EAD=∠BAC=60

∴∠1+∠2=∠2+∠3=60

即∠1=∠3

∴△AEB≌△ADC

②由①可得△AEB≌△ADC，△ABC是等邊三角形

∴∠4=∠5=∠BAC=60

∴BE∥CG

∵EG∥BC

∴四邊形BCGE是平行四邊形

（2）四邊形BCGE是菱形，理由是：

由（1）同理可得△AEB≌△ADC

∴∠ABE=∠6=180-∠7=180-60=120，BE=CD

∴∠ABE+∠BAC=120+60=180，∴BE∥AG

∵EG∥BC

∴四邊形BCGE是平行四邊形

∵CD=BC，∴BE=BC

∴四邊形BCGE是菱形