Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知直線(xiàn)l1：y= x與直線(xiàn)l2：y=﹣x+6相交于點(diǎn)M，直線(xiàn)l2與x軸相交于點(diǎn)N．

（1）求M，N的坐標(biāo)．
（2）矩形ABCD中，已知AB=1，BC=2，邊AB在x軸上，矩形ABCD沿x軸自左向右以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度移動(dòng)，設(shè)矩形ABCD與△OMN的重疊部分的面積為S，移動(dòng)的時(shí)間為t（從點(diǎn)B與點(diǎn)O重合時(shí)開(kāi)始計(jì)時(shí)，到點(diǎn)A與點(diǎn)N重合時(shí)計(jì)時(shí)開(kāi)始結(jié)束）．直接寫(xiě)出S與自變量t之間的函數(shù)關(guān)系式（不需要給出解答過(guò)程）．
（3）在（2）的條件下，當(dāng)t為何值時(shí)，S的值最大？并求出最大值．

Answer 1

【答案】
（1）

解：解方程組 ，

解得： ，

則M的坐標(biāo)是：（4，2）．

在解析式y(tǒng)=﹣x+6中，令y=0，解得：x=6，則N的坐標(biāo)是：（6，0）

（2）

解：當(dāng)0≤t≤1時(shí)，重合部分是一個(gè)三角形，OB=t，則高是 t，則面積是 ×t t= t2；

當(dāng)1＜t≤4時(shí)，重合部分是直角梯形，梯形的高是1，下底是： t，上底是： （t﹣1），根據(jù)梯形的面積公式可以得到：S= [ t+ （t﹣1）]= （t﹣ ）；

當(dāng)4＜t≤5時(shí)，過(guò)M作x軸的垂線(xiàn)，則重合部分被垂線(xiàn)分成兩個(gè)直角梯形，兩個(gè)梯形的下底都是2，上底分別是：﹣t+6和 （t﹣1），根據(jù)梯形的面積公式即可求得

S=﹣ t2+ t﹣ ；

當(dāng)5＜t≤6時(shí)，重合部分是直角梯形，與當(dāng)1＜t≤4時(shí)，重合部分是直角梯形的計(jì)算方法相同，則S= （13﹣2t）；

當(dāng)6＜t≤7時(shí)，重合部分是直角三角形，則與當(dāng)0≤t≤1時(shí)，解法相同，可以求得S= （7﹣t）2．

則：S=

（3）

解：在0≤t≤1時(shí)，函數(shù)值y隨t的增大而增大，則當(dāng)t=1時(shí)，取得最大值是： ；

當(dāng)1＜t≤4時(shí)，函數(shù)值y隨t的增大而增大，則當(dāng)t=4時(shí)，取得最大值是： （4﹣ ）= ；

當(dāng)4＜t≤5時(shí)，是二次函數(shù)，對(duì)稱(chēng)軸t= ，則最大值是：﹣ ×（ ）2+ × ﹣ = ；

當(dāng)5＜t≤6時(shí)，函數(shù)值y隨t的增大而減小，所以函數(shù)一定小于 ；

同理，當(dāng)6＜t≤7時(shí)，y隨t的增大而減小，所以函數(shù)一定小于 ．

所以函數(shù)的最大值是：

【解析】（1）解兩條直線(xiàn)的解析式組成的方程組的解，即可求得交點(diǎn)M的坐標(biāo)，在y=﹣x+6中，令y=0即可求得點(diǎn)N的橫坐標(biāo)，則N的坐標(biāo)即可求解；（2）分成0≤t≤1，1＜t≤4，4＜t≤5，5＜t≤6，6＜t≤7五種情況，利用三角形的面積公式和梯形的面積公式，即可求得函數(shù)的解析式；（3）分別求得每種情況下函數(shù)的最值或函數(shù)值的范圍，即可確定．
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了二次函數(shù)的圖象和二次函數(shù)的性質(zhì)的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，需要掌握二次函數(shù)圖像關(guān)鍵點(diǎn)：1、開(kāi)口方向2、對(duì)稱(chēng)軸 3、頂點(diǎn) 4、與x軸交點(diǎn) 5、與y軸交點(diǎn)；增減性：當(dāng)a>0時(shí)，對(duì)稱(chēng)軸左邊，y隨x增大而減�。粚�(duì)稱(chēng)軸右邊，y隨x增大而增大；當(dāng)a<0時(shí)，對(duì)稱(chēng)軸左邊，y隨x增大而增大；對(duì)稱(chēng)軸右邊，y隨x增大而減小才能正確解答此題．