Question

【題目】在平面直角坐標系中，O為原點，點A（8，0）、點B（0，4），點C、D分別是邊OA、AB的中點．將△ACD繞點A順時針方向旋轉，得△AC′D′，記旋轉角為α．

（I）如圖①，連接BD′，當BD′∥OA時，求點D′的坐標；

（II）如圖②，當α=60°時，求點C′的坐標；

（III）當點B，D′，C′共線時，求點C的坐標（直接寫出結果即可）．

Answer 1

【答案】（I）（10，4）或（6，4）（II）C′（6，2）（III）①C′（8，4）②

C′（，﹣）

【解析】

（I）如圖①，當OB∥AC′，四邊形OBC′A是平行四邊形，只要證明B、C′、D′共線即可解決問題，再根據對稱性確定D″的坐標；

（II）如圖②，當α=60°時，作C′K⊥AC于K．解直角三角形求出OK，C′K即可解決問題；

（III）分兩種情形分別求解即可解決問題；

解:（I）如圖①，

∵A（8，0），B（0，4），

∴OB=4，OA=8，

∵AC=OC=AC′=4，

∴當OB∥AC′，四邊形OBC′A是平行四邊形，

∵∠AOB=90°，

∴四邊形OBC′A是矩形，

∴∠AC′B=90°，∵∠AC′D′=90°，

∴B、C′、D′共線，

∴BD′∥OA，

∵AC=CO， BD=AD，

∴CD=C′D′=OB=2，

∴D′（10，4），

根據對稱性可知，點D″在線段BC′上時，D″（6，4）也滿足條件．

綜上所述，滿足條件的點D坐標（10，4）或（6，4）．

（II）如圖②，當α=60°時，作C′K⊥AC于K．

在Rt△AC′K中，∵∠KAC′=60°，AC′=4，

∴AK=2，C′K=2，

∴OK=6，

∴C′（6，2）．

（III）①如圖③中，當B、C′、D′共線時，由（Ⅰ）可知，C′（8，4）．

②如圖④中，當B、C′、D′共線時，BD′交OA于F，易證△BOF≌△AC′F，

∴OF=FC′，設OF=FC′=x，

在Rt△ABC′中，BC′==8，

在RT△BOF中，OB=4，OF=x，BF=8﹣x，

∴（8﹣x）2=42+x2，

解得x=3，

∴OF=FC′=3，BF=5，作C′K⊥OA于K，

∵OB∥KC′，

∴==，

∴==，

∴KC′=，KF=，

∴OK=，

∴C′（，﹣）．