Question

如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8cm，BC=6CM．點(diǎn)P，Q同時(shí)由B，A兩點(diǎn)出發(fā)，分別沿射線BC，AC方向以1cm/s的速度勻速運(yùn)動(dòng)．

（1）幾秒后△PCQ的面積是△ABC面積的一半？

（2）連結(jié)BQ，幾秒后△BPQ是等腰三角形？

Answer 1

（1）2秒或12秒時(shí)△PCQ的面積等于△ABC的面積的一半．（2）t=、12或14±4時(shí)，△BPQ是等腰三角形．

【解析】

試題分析：（1）設(shè)P、Q同時(shí)出發(fā)，x秒鐘后，當(dāng)0＜x＜6時(shí)，當(dāng)6＜x＜8時(shí)，當(dāng)x＞8時(shí)，由此等量關(guān)系列出方程求出符合題意的值；

（2）分別根據(jù)①當(dāng)BP=BQ時(shí)，②當(dāng)PQ=BQ時(shí)，③當(dāng)BP=PQ時(shí)，利用勾股定理求出即可．

試題解析：（1）設(shè)運(yùn)動(dòng)x秒后，△PCQ的面積是△ABC面積的一半，

當(dāng)0＜x＜6時(shí)，

S△ABC=×AC•BC=×6×8=24，

即：×（8-x）×（6-x）=×24，

x2-14x+24=0，

（x-2）（x-12）=0，

x1=12（舍去），x2=2；

當(dāng)6＜x＜8時(shí)，

×（8-x）×（x-6）=×24，

x2-14x+72=0，

b2-4ac=196-288=-92＜0，

∴此方程無(wú)實(shí)數(shù)根，

當(dāng)x＞8時(shí)，

S△ABC=×AC•BC=×6×8=24，

即：×（x-8）×（x-6）=×24，

x2-14x+24=0，

（x-2）（x-12）=0，

x1=12，x2=2（舍去），

所以，當(dāng)2秒或12秒時(shí)使得△PCQ的面積等于△ABC的面積的一半．

（2）設(shè)t秒后△BPQ是等腰三角形，

①當(dāng)BP=BQ時(shí)，t2=62+（8-t）2，

解得：t=；

②當(dāng)PQ=BQ時(shí)，（6-t）2+（8-t）2=62+（8-t）2，

解得：t=12；

③當(dāng)BP=PQ時(shí)，t2=（6-t）2+（8-t）2，

解得：t=14±4．

所以：當(dāng)t=、12或14±4時(shí)，△BPQ是等腰三角形．

考點(diǎn)：一元二次方程的應(yīng)用．