Question

（本題滿分12分）問題提出：平面內不在同一條直線上的三點確定一個圓．那么平面內的四點(任意三點均不在同一直線上），能否在同一個圓呢？

初步思考：設不在同一條直線上的三點、、確定的圓為⊙．

（1）當、在線段的同側時，

如圖①，若點在⊙上，此時有，理由是 ；

如圖②，若點在⊙內，此時有 ；

如圖③，若點在⊙外，此時有 ．（填“”、“”或“”）；

由上面的探究，請直接寫出、、、四點在同一個圓上的條件： ．

類比學習：（2）仿照上面的探究思路，請?zhí)骄浚寒?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/CZSX/web/STSource/2015041506022053193079/SYS201504150602278759585582_ST/SYS201504150602278759585582_ST.003.png">、在線段的異側時的情形．

如圖④，此時有 ，如圖⑤，此時有 ，

如圖⑥，此時有 ．

由上面的探究，請用文字語言直接寫出、、、四點在同一個圓上的條件：

．

拓展延伸：（3）如何過圓上一點，僅用沒有刻度的直尺，作出已知直徑的垂線？

已知：如圖，是⊙的直徑，點在⊙上，求作：．

作法：①連接，；

②在 上任取異于、的一點，連接，；

③與相交于點，延長、，交于點；

④連接、并延長，交直徑于；

⑤連接、并延長，交⊙于N．連接． 則．

請按上述作法在圖④中作圖，并說明的理由．（提示：可以利用（2）中的結論）

Answer 1

（1）同弧所對的圓周角相等，，，答案不唯一，如：；

（2），，，若四點組成的四邊形對角互補，則這四點在同一圓上；

（3）如圖即為所作，理由見解析.

【解析】

試題分析：（1）根據(jù)題中所給的圖，是非常熟悉的同弧所對的兩個圓周角，故相等，后面兩空可取特殊情況作判斷，第四空可根據(jù)圖①寫出條件，但答案不唯一；（2）仿照（1）中對點與圓的三種位置關系展開討論，可以結合圓內接四邊形對角互補得到圖④的結論，后面兩空同樣可以取特殊情況判斷；（3）按部就班作圖不難，而在證明垂直過程中，根據(jù)提示要用到（2）的結論，即對角互補時四點共圓，故可結合圓的性質、圓內接四邊形的性質、三角形中位線逆定理、平行線性質等予以證明.

試題解析：（1）同弧所對的圓周角相等，，，答案不唯一，如：；

（2）如圖即為所作.

此時，此時，此時；

（3）如圖即為所作.

是⊙的直徑，、在⊙上 ，

點是三條高的交點 ， 點、、、在同一個圓上

又點、、、在⊙上 ，

考點：1.分類討論；幾何作圖；3. 圓的性質、圓內接四邊形的性質、三角形中位線逆定理、平行線性質的綜合應用.