Question

【題目】如圖所示，已知拋物線的圖像經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(1,0),B(0,5),

（1）求這個(gè)拋物線的解析式；

（2）設(shè)（1）中的拋物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為C,求出點(diǎn)C的坐標(biāo)；并確定在拋物線上是否存在一點(diǎn)E,使△BCE是以BC為斜邊的直角三角形？若存在，在圖中做出所有的點(diǎn)E（不寫畫法，保留作圖痕跡）；若不存在，說(shuō)明理由；

（3）點(diǎn)P是直線BC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（P點(diǎn)不與B點(diǎn)和C點(diǎn)重合），過(guò)點(diǎn)P做x軸的垂線，交拋物線于點(diǎn)M,點(diǎn)Q在直線BC上，距離點(diǎn)P為個(gè)單位長(zhǎng)度，設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為t，△PMQ的面積為S，求出S與t之間的函數(shù)關(guān)系式。

Answer 1

【答案】（1）；（2）點(diǎn)C的坐標(biāo)是（－5，0），存在，圖形詳見解析；（3）．

【解析】

（1）將點(diǎn)A、點(diǎn)B的坐標(biāo)代入拋物線解析式可得出b、c的值，繼而得出拋物線解析式；

（2）根據(jù)拋物線解析式求出點(diǎn)C的坐標(biāo)，以BC的中點(diǎn)D為圓心，以BC為半徑畫圓，與拋物線有兩個(gè)交點(diǎn)E和E′；

（3）由點(diǎn)B的坐標(biāo)為（0，5），點(diǎn)C的坐標(biāo)為（-5，0），可得直線BC的解析式為y=x+5．

設(shè)P的坐標(biāo)為（t，t+5），則點(diǎn)M的坐標(biāo)（t，）．過(guò)點(diǎn)Q作QF⊥PM于點(diǎn)F，則△PQF為等腰直角三角形，得到QF=1.然后分兩種情況討論：①當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)M下方時(shí)，即-5﹤t﹤0時(shí)，②當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)M上方時(shí)，t﹤-5或t＞0時(shí)，分別表示出PM，然后求出△PMQ的面積即可．

（1）將點(diǎn)A（1，0）、點(diǎn)B（0，5）代入拋物線y=﹣x2+bx+c可得：，解得：，故拋物線解析式為：y=﹣x2﹣4x+5．

（2）由y=﹣x2﹣4x+5，令y=0，得：﹣x2﹣4x+5=0，解得：x1=﹣5，x2=1，則點(diǎn)C的坐標(biāo)為（﹣5，0），若在拋物線上存在點(diǎn)E，使△BCE是以BC為斜邊的直角三角形，則∠BEC=90°，即點(diǎn)E是以BC為直徑的圓與拋物線的交點(diǎn)．如圖：

（3）由點(diǎn)B的坐標(biāo)為（0，5），點(diǎn)C的坐標(biāo)為（-5，0），∴可得直線BC的解析式為y=x+5．

∵點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為t，PM⊥x軸，∴點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為t．

又點(diǎn)P在直線BC上，點(diǎn)M在拋物線上，∴所以點(diǎn)P的坐標(biāo)為（t，t+5），點(diǎn)M的坐標(biāo)（t，）．

過(guò)點(diǎn)Q作QF⊥PM于點(diǎn)F，則△PQF為等腰直角三角形．

∵ ∴QF=1．

當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)M下方時(shí)，即-5﹤t﹤0時(shí)，如圖1，，∴；

當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)M上方時(shí)，t﹤-5或t＞0時(shí)，如圖2，圖3，，∴．

綜上所述：．