Question

【題目】綜合與實(shí)踐

問題情境

在綜合與實(shí)踐課上，老師組織同學(xué)們以“三角形紙片的旋轉(zhuǎn)”為主題開展數(shù)學(xué)活動(dòng)．如圖1，現(xiàn)有矩形紙片ABCD，AB＝4cm，AD＝3cm．連接BD，將矩形ABCD沿BD剪開，得到△ABD和△BCE．保持△ABD位置不變，將△BCE從圖1的位置開始，繞點(diǎn)B按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角為α（0°≤α＜360°）．

操作發(fā)現(xiàn)

（1）在△BCE旋轉(zhuǎn)過程中，連接AE，AC，則當(dāng)α＝0°時(shí)，的值是　 　；

（2）如圖2，將圖1中的△BCE旋轉(zhuǎn)，當(dāng)點(diǎn)E落在BA延長(zhǎng)線上時(shí)停止旋轉(zhuǎn)，求出此時(shí)的值；

實(shí)踐探究

（3）如圖3，將圖2中的△BCE繼續(xù)旋轉(zhuǎn)，當(dāng)AC＝AE時(shí)停止旋轉(zhuǎn)，直接寫出此時(shí)α的度數(shù)，并求出△AEC的面積；

（4）將圖3中的△BCE繼續(xù)旋轉(zhuǎn)，則在某一時(shí)刻AC和AE還能相等嗎？如果不能，則說明理由；如果能，請(qǐng)?jiān)趫D4中畫出此時(shí)的△BCE，連接AC，AE，并直接寫出△AEC的面積值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）α的度數(shù)為60°，面積為（4﹣6）cm2；（4）（4+6）cm2

【解析】

（1）如圖1中，連接AC，理由勾股定理求出AC即可解決問題．

（2）如圖2中，過點(diǎn)C作CF⊥AB于點(diǎn)F，在Rt△AFC中，求出AF，FC即可解決問題．

（3）結(jié)論：α的度數(shù)為60°．如圖3中，設(shè)EC的中點(diǎn)為G，連接AG，過點(diǎn)A作AH⊥BC于點(diǎn)H．解直角三角形求出AG即可解決問題．

（4）結(jié)論：AC和AE還能相等，△BCE位置如圖4所示：取CE的中點(diǎn)G，連接AG，作BH⊥AG于H．求出AG即可解決問題．

（1）如圖1中，連接AC，

∵四邊形ABCD是矩形，

∴∠ABC＝90°，BC＝AD＝3，

∴AC＝＝＝5，

∵AE＝AD＝3，

∴＝，

故答案為．

（2）如圖2中，過點(diǎn)C作CF⊥AB于點(diǎn)F，

∵四邊形ABCD是矩形，AB＝4，AD＝3，

∴EC＝4，BC＝3，∠BAD＝∠BCE＝90°，

∴BD＝BE＝＝＝5，

∴sin∠FBC＝＝．cos∠FBC＝＝，

在Rt△BFC中，BF＝BCcos∠FBC＝3×＝，FC＝BCsin∠FBC＝3×＝，

∴AF＝AB﹣BF＝4﹣＝，

在Rt△AFC中，AC＝＝＝，

AE＝BE﹣AB＝5﹣4＝1，

∴ ．

（3）結(jié)論：α的度數(shù)為60°．

理由：如圖3中，設(shè)EC的中點(diǎn)為G，連接AG，過點(diǎn)A作AH⊥BC于點(diǎn)H．

∵AC＝AE，EG＝GC，

∴AG⊥EC，

∵∠GCH＝180°﹣∠ECB＝180°﹣90°＝90°，

∴∠AGC＝∠GCH＝∠AHC＝90°，

∴四邊形AGCH是矩形，

∴GC＝AH＝EC＝×4＝2，

在Rt△ABH中，BH＝＝＝2，sin∠ABH=，

∴AG＝CH＝BH﹣BC＝2﹣3，∠ABH=30°，

∴旋轉(zhuǎn)角α=90°-30°=60°，

S△AEC＝ECAG＝×4×（2﹣3）＝（4﹣6）cm2．

（4）結(jié)論：AC和AE還能相等，△BCE位置如圖4所示：

取CE的中點(diǎn)G，連接AG，作BH⊥AG于H．

同法可得：GH＝BC＝3，AH＝2，

∴AG＝2+3，

∴S△AEC＝ECAG＝×4×（2+3）＝（4+6）cm2．