Question

【題目】如圖（1）已知矩形AOCD在平面直角坐標(biāo)系xOy中，∠CAO＝60°，OA＝2，B點(diǎn)的坐標(biāo)為（2，0），動(dòng)點(diǎn)M以每秒2個(gè)單位長度的速度沿A→C→B運(yùn)動(dòng)（M點(diǎn)不與點(diǎn)A、點(diǎn)B重合），設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．

（1）求經(jīng)過B、C、D三點(diǎn)的拋物線解析式；

（2）點(diǎn)P在（1）中的拋物線上，當(dāng)M為AC中點(diǎn)時(shí)，若△PAM≌△PDM，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；

（3）當(dāng)點(diǎn)M在CB上運(yùn)動(dòng)時(shí)，如圖（2）過點(diǎn)M作ME⊥AD，MF⊥x軸，垂足分別為E、F，設(shè)矩形AEMF與△ABC重疊部分面積為S，求S與t的函數(shù)關(guān)系式，并求出S的最大值；

（4）如圖（3）點(diǎn)P在（1）中的拋物線上，Q是CA延長線上的一點(diǎn)，且P、Q兩點(diǎn)均在第三象限內(nèi)，Q、A是位于直線BP同側(cè)的不同兩點(diǎn)，若點(diǎn)P到x軸的距離為d，△QPB的面積為2d，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）y= ；（2）點(diǎn)P（﹣1+，）或（﹣1﹣，）；（3）S＝﹣（t﹣）2+，當(dāng)t＝時(shí)，S最大＝；（4）P（﹣8，－10）

【解析】

（1）由直角三角形的性質(zhì)可求點(diǎn)C，點(diǎn)D坐標(biāo)，由待定系數(shù)法可求解析式；

（2）由全等三角形的性質(zhì)可得DM=AM，PD=AP，可得點(diǎn)P在AD的垂直平分線上，可求點(diǎn)P的縱坐標(biāo)，代入可求解；

（3）由題意可證△ACB是等邊三角形，可得CM=2t-4，BF＝（8﹣2t）＝4﹣t，MF＝4﹣t，AF＝t，即可求重疊部分面積，由二次函數(shù)的性質(zhì)可求解；

（4）由題意先求出直線AC，BP的解析式，即可求點(diǎn)P坐標(biāo)．

解：（1）∵四邊形ABCD是矩形，

∴CD＝AO＝2，∠AOC＝90°，且∠CAO＝60°，OA＝2，

∴OC＝2，

∴點(diǎn)C（0，2），點(diǎn)D（﹣2，2），

設(shè)拋物線解析式為y＝a（x+1）2+c，代B（2，0），C（0，2）

∴

解得：

∴拋物線解析式為y＝﹣（x+1）2+＝，

（2）∵M(jìn)為AC中點(diǎn)，

∴MA＝MD，

∵△PAM≌△PDM，

∴PA＝PD，

∴點(diǎn)P在AD的垂直平分線上

∴點(diǎn)P縱坐標(biāo)為，

∴

∴x1＝﹣1+，x2＝﹣1﹣

∴點(diǎn)P（﹣1+，）或（﹣1﹣，）

（3）如圖2，

∵AO＝BO＝2，CO⊥AB，

∴AC＝BC＝4，∠CAO＝60°，

∴△ACB是等邊三角形，

由題意可得：CM＝2t﹣4，BF＝（8﹣2t）＝4﹣t，MF＝4﹣t，AF＝t．

∵四邊形AEMF是矩形，

∴AE＝MF，EM＝AF，EM∥AB，

∴∠CMH＝∠CBA＝60°，∠CHM＝∠CAO＝60°，

∴△CMH是等邊三角形，

∴CM＝MH＝2t﹣4，

∵S＝（2t﹣4+t）（4﹣t）＝﹣（t﹣）2+

當(dāng)t＝時(shí)，S最大＝，

（4）∵S△ABP＝×4×d＝2d，

又S△BPQ＝2d

∴S△ABP＝S△BPQ，

∴AQ∥BP

設(shè)直線AC解析式為y＝kx+b，

把A（﹣2，0），C（0，2）代入其中，得

∴

∴直線AC解析式為：y＝x+2，

設(shè)直線BP 的解析式為y＝x+n，把B（2，0）代入其中，得

0＝2+n，

∴b＝﹣2

∴直線BP解析式為：y＝x﹣2，

∴＝x﹣2，

∴x1＝2（舍去），x2＝﹣8，

∴P（﹣8，－10）．