Question

【題目】如圖①，在矩形OABC中，OA＝4，OC＝3，分別以OC、OA所在的直線為x軸、y軸，建立如圖所示的坐標(biāo)系，連接OB，反比例函數(shù)y＝（x＞0）的圖象經(jīng)過線段OB的中點(diǎn)D，并與矩形的兩邊交于點(diǎn)E和點(diǎn)F，直線l：y＝kx+b經(jīng)過點(diǎn)E和點(diǎn)F．

（1）求反比例函數(shù)的解析式；

（2）連接OE、OF，求△OEF的面積；

（3）在第一象限內(nèi)，請直接寫出關(guān)于x的不等式kx+b≤的解集：　 ．

（4）如圖②，將線段OB繞點(diǎn)O順時針旋轉(zhuǎn)一定角度，使得點(diǎn)B的對應(yīng)點(diǎn)H恰好落在x軸的正半軸上，連接BH，作OM⊥BH，點(diǎn)N為線段OM上的一個動點(diǎn)，求HN+ON的最小值．

Answer 1

【答案】（1）y＝；（2）S△OEF＝；（3）0＜x＜或x＞3．（4）HN+ON的最小值為4．

【解析】

（1）首先確定點(diǎn)B坐標(biāo)，再根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式求出點(diǎn)D的坐標(biāo)即可解決問題．
（2）求出點(diǎn)E，F的坐標(biāo)，再根據(jù)S△OEF=S矩形ABCO-S△AOE-S△OCF-S△EFB計(jì)算即可．
（3）寫出在第一象限，直線的圖象在反比例函數(shù)的圖象的下方的自變量x的取值范圍即可．
（4）如圖②中，作NJ⊥BD于J．HK⊥BD于K．解直角三角形首先證明：sin∠NOD=，推出NJ=ONsin∠NOD=ON，推出NH+ON=NH+NJ，根據(jù)垂線段最短可知，當(dāng)J，N，H共線，且與HK重合時，HN+ON的值最小，最小值=HK的長，由此即可解決問題．

解：（1）在矩形ABCO中，∵OA＝BC＝4，OC＝AB＝3，

∴B（3，4），

∵OD＝DB，

∴D（，2），

∵y＝經(jīng)過D（，2），

∴k＝3，

∴反比例函數(shù)的解析式為y＝．

（2）如圖①中，連接OE，OF．

由題意E（，4），F（3，1），

∴S△OEF＝S矩形ABCO﹣S△AOE﹣S△OCF﹣S△EFB

＝12﹣×4×﹣×3×1﹣×3×（3﹣）

＝．

（3）觀察圖象可知：在第一象限內(nèi)，關(guān)于x的不等式kx+b≤的解集為：0＜x＜或x＞3．

故答案為：0＜x＜或x＞3．

（4）如圖②中，作NJ⊥BD于J．HK⊥BD于K．

由題意OB＝OH＝5，

∴CH＝OH﹣OC＝5﹣3＝2，

∴BH＝＝＝2，

∴sin∠CBH＝＝，

∵OM⊥BH，

∴∠OMH＝∠BCH＝90°，

∵∠MOH+∠OHM＝90°，∠CBH+∠CHB＝90°，

∴∠MOH＝∠CBH，

∵OB＝OH，OM⊥BH，

∴∠MOB＝∠MOH＝∠CBH，

∴sin∠NOD＝，

∴NJ＝ONsin∠NOD＝ON，

∴NH+ON＝NH+NJ，

根據(jù)垂線段最短可知，當(dāng)J，N，H共線，且與HK重合時，HN+ON的值最小，最小值＝HK的長，

∵OB＝OH，BC⊥OH，HK⊥OB，

∴HK＝BC＝4，

∴HN+ON是最小值為4．