Question

【題目】已知如圖，以Rt△ABC的AC邊為直徑作⊙O交斜邊AB于點(diǎn)E，連接EO并延長(zhǎng)交BC的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)D，作OF∥AB交BC于點(diǎn)F，連接EF．

（1）求證：OF⊥CE

（2）求證：EF是⊙O的切線(xiàn)；

（3）若O的半徑為3，∠EAC＝60°，求AD的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）證明見(jiàn)解析；（3）AD=.

【解析】試題分析: （1）根據(jù)直徑所對(duì)的圓周角為直角可得CE⊥AE。根據(jù)中位線(xiàn)的定義可得OF為△ABC的中位線(xiàn)，由中位線(xiàn)的性質(zhì)，OF//AB。根據(jù)平行線(xiàn)的性質(zhì)，所以CE⊥OF。（2）在(1)的條件下,又有EO=OC，根據(jù)中垂線(xiàn)的性質(zhì)，可得OF垂直平分CE，根據(jù)垂直平分線(xiàn)上的點(diǎn)到的線(xiàn)段兩端點(diǎn)的距離相等，所以FC=FE，根據(jù)邊邊邊定理可判定△OCF△OEF，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得OE⊥EF.根據(jù)切線(xiàn)性質(zhì)，所以EF是⊙O的切線(xiàn).

（3）根據(jù)等邊三角形的判定可得△AEO為等邊三角形，由等邊三角形性質(zhì)可得∠EOA=60°.由對(duì)頂角相等可得∠COD=∠EOA=60°.在Rt△OCD中，根據(jù)三角函數(shù)關(guān)系可得，CD=.在Rt△ACD中，根據(jù)勾股定理可得AD的長(zhǎng).

試題解析:

解：如圖，

（1）證明：∵AC是⊙O的直徑，

∴CE⊥AE

∵OF∥AB

∴OF⊥CE；

（2）證明：∵OF⊥CE

∴OF所在直線(xiàn)垂直平分CE，

∴FC＝FE

∴∠FCE＝∠FEC,

又∵OE＝OC，

∠OEC＝∠OCE,

∵∠ACB＝90°，

即∠OCE＋∠FCE＝90°，

∴∠OEC＋∠FEC＝90°，

即∠FEO＝90°，

∴FE為O的切線(xiàn).

（3）∵O的半徑為3，

∴AO＝CO＝EO＝3.

∵∠EAC＝60°，OA＝OE，∴△AEO為等邊三角形，

∴∠EOA＝60°，

∴∠COD＝∠EOA＝60°.

∵在Rt△OCD中，∠COD＝60°，OC＝3，

∴CD＝.

∵在Rt△ACD中，∠ACD＝90°，AC＝6，

∴AD＝===.

點(diǎn)睛: 本題考查了切線(xiàn)的判定和性質(zhì)，三角形的中位線(xiàn)的性質(zhì)，勾股定理，線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握定理是解題的關(guān)鍵．