Question

【題目】如圖,直線 ∥ ∥ ，且 與 的距離為1， 與 的距離為2,等腰 △ABC的頂點(diǎn)分別在直線 ， ， 上，AB=AC，∠BAC=120° ，則等腰三角形的底邊長為。

Answer 1

【答案】6 ， 2 , 2 , 2 .
【解析】解 ：此題分四種情況 ：①如圖1中,作BF⊥l1于F交l3于H,取BC的中點(diǎn)E,過點(diǎn)E作l4∥l3 ， 交FH于點(diǎn)M,連接AE.取AB的中點(diǎn)O，連接OF、OE.

∵AB=AC，BE=EC， ∠BAC=120°，
∴AE⊥BC,∠BAE=60，
∵BF⊥AF，
∴∠AFB=∠AEB=90，
∴OA=OB=OF=OE，
∴A、F. B. E四點(diǎn)共圓，
∴∠BFE=∠BAE=60，
∵l1∥l2∥l3∥l4 ， BE=EC，
∴BF=BM=MH=1，
在Rt△EFM中,EM=FMtan60=2 ，
在Rt△BEM中,由勾股定理得：BE=
∴BC=2BE=2
②如圖2中,作BF⊥l3于F交l2于G,取BC的中點(diǎn)E,過點(diǎn)E作l 4∥l1交BF于H ，連接EF,AE,
.

同理可證B. F. A. E四點(diǎn)共圓，
∴∠BFE=∠BAE=60，
∵BE=EC,l1∥l4∥l2 ，
∴BH=HG= ，
在Rt△EHF中,HE=FHtan60=
在Rt△BEH中,由勾股定理得：BE=
∴BC=2BE=2

③如圖3中,在直線l2取一點(diǎn)A,作AB⊥l2交l3于B,作∠CAB=120,作CE⊥l2于E. 過點(diǎn)A作AD⊥BC于點(diǎn)D,

∵∠CAE=∠CAB∠EAB=12090=30 ，
∴在Rt△ACE中，AC=2EC=2，
∵AB=2，
∴AC=AB，
∴△ABC滿足條件，
∴AB=2，
∵△ABC中 ，∠CAB=120 ， AB=AC,AD⊥BC
∴∠ACB=30° ,BC=2CD
∴BC=2CD=2；
④如圖所示 ：過點(diǎn)A作AD⊥BC與點(diǎn)D ;∵∵
∵AD⊥BC,AB=AC,∠CAB=120
∴BC=2DB,∠ADB=90°,∠BAD=60°,AD=3,
∴BD=AD·tan60°=3,
∴BC=6;
綜上所述,等腰三角形的底邊長為 ， ,,.分四種情形討論：①如圖1中，作BF⊥l1于F交l3于H，取BC的中點(diǎn)E，過點(diǎn)E作l4∥l3 ， 連接AE．取AB的中點(diǎn)O，連接OF、OE．首先證明A、F、B、E四點(diǎn)共圓，推出∠BFE=∠BAE=60°，在Rt△EMF中，求出EM，在Rt△BME中求出BE即可解決問題．②如圖2中，作BF⊥l3于F交l2于G，取BC的中點(diǎn)E，過點(diǎn)E作l 4∥l1交BF于H．解法類似①．③如圖3中，在直線l2取一點(diǎn)A，作AB⊥l2交l3于B，作∠CAB=120°，作CE⊥l2于E． 過點(diǎn)A作AD⊥BC于點(diǎn)D, 只要證明△ABC是等腰三角形即可，然后根據(jù)含30°直角三角形的邊之間的關(guān)系得出AD，進(jìn)而利用勾股定理求出UCD，從而得出答案；④過點(diǎn)A作AD⊥BC與點(diǎn)D ，根據(jù)等腰三角形的三線合一得出BC=2DB，根據(jù)平行線間的距離得出AD=3,根據(jù)正切函數(shù)的定義得出BD的長度，進(jìn)而得出BC的長度，綜上所述得出本題答案。