Question

已知:AD、BC是⊙O的兩條互相垂直的弦,垂足為E，H是弦BC的中點，AO是 ∠DAB的平分線，半徑OA交弦CB于點M.

（1）如圖1，延長OH交AB于點N，求證：ONB=2ZAON;

（2）如圖2，若點M是OA的中點,求證:AD=40H;

⑶ 如圖3,延長HO交00于點F,連接BF,若C0的延長線交BF于點G，CG丄BF，CH=， 求⊙0的半徑長. 

Answer 1

 (1）證明：如圖1，H是弦BC的中點，

∴AD⊥BC ∴∠DEB＝90°

∴∠OHB＝∠DEB   ∴OH∥AD   ∴∠DAO＝∠AOH ……1分

∵∠DAO＝∠OAN    ∴  ∠OAN＝∠NOA ……1分

∴∠ONB＝∠NAO＋∠NOA＝2∠AON

∴∠ONB＝2∠AON； ……1分

(2) 如圖2，過點O作OP⊥AD,可證四邊形OHEP是矩形

∴OH＝EP ∵點M是OA的中點，可證△OHM≌△AEM

∴OH＝AE ∴EP＝AE  ……1分

即：AP＝2AE＝2OH

∵OP⊥AD  ∴AD＝2AP ……1分

 

∴AD＝2AP＝2×2OH＝4OH

∴AD＝4OH ……1分

(3）如圖3，延長FN交⊙O于點K，連接BK，

∵FK是⊙O的直徑 ∴∠KBF＝90°

∵CG⊥BF， ∴∠CGF＝90°∴CG∥BK ……1分

∴ ∠CON＝∠OKB      又∵∠COK＝2∠CBK

∴∠OKB＝2∠CBK ……1分

在Rt△HKB中，∠CBK＋∠OKB＝90°

∴ ∠CBK＝30°,∴∠COK＝2∠CBK＝60° ……1分

在Rt△OCH中，

∴⊙O的半徑為2. ……1分