Question

已知:AD、BC是⊙O的兩條互相垂直的弦,垂足為E，H是弦BC的中點(diǎn)，AO是 ∠DAB的平分線，半徑OA交弦CB于點(diǎn)M.

（1）如圖1，延長(zhǎng)OH交AB于點(diǎn)N，求證：ONB=2ZAON;

（2）如圖2，若點(diǎn)M是OA的中點(diǎn),求證:AD=40H;

⑶ 如圖3,延長(zhǎng)HO交00于點(diǎn)F,連接BF,若C0的延長(zhǎng)線交BF于點(diǎn)G，CG丄BF，CH=， 求⊙0的半徑長(zhǎng). 

Answer 1

 (1）證明：如圖1，H是弦BC的中點(diǎn)，

∴AD⊥BC ∴∠DEB＝90°

∴∠OHB＝∠DEB   ∴OH∥AD   ∴∠DAO＝∠AOH ……1分

∵∠DAO＝∠OAN    ∴  ∠OAN＝∠NOA ……1分

∴∠ONB＝∠NAO＋∠NOA＝2∠AON

∴∠ONB＝2∠AON； ……1分

(2) 如圖2，過(guò)點(diǎn)O作OP⊥AD,可證四邊形OHEP是矩形

∴OH＝EP ∵點(diǎn)M是OA的中點(diǎn)，可證△OHM≌△AEM

∴OH＝AE ∴EP＝AE  ……1分

即：AP＝2AE＝2OH

∵OP⊥AD  ∴AD＝2AP ……1分

 

∴AD＝2AP＝2×2OH＝4OH

∴AD＝4OH ……1分

(3）如圖3，延長(zhǎng)FN交⊙O于點(diǎn)K，連接BK，

∵FK是⊙O的直徑 ∴∠KBF＝90°

∵CG⊥BF， ∴∠CGF＝90°∴CG∥BK ……1分

∴ ∠CON＝∠OKB      又∵∠COK＝2∠CBK

∴∠OKB＝2∠CBK ……1分

在Rt△HKB中，∠CBK＋∠OKB＝90°

∴ ∠CBK＝30°,∴∠COK＝2∠CBK＝60° ……1分

在Rt△OCH中，

∴⊙O的半徑為2. ……1分